图 14.7 单元实常数定义对话 框 3．在选择单元类型列表框中，单击“Type 1 BEAM3”使其高亮度显示，选择第一类 单元 BEAM3。然后单击该对话框中的 按钮，将弹出 Real Constants for BEAM3 (为 BEAM3 单元定义实常数) 对话框如图 14.8 所示。 图 14.8 为 BEAM3 单元定义实常数对话框 4．在对话框中的Cross-section area (截面积)文本框中输入“1”，定义梁的截面为 1 个 单位值，这是因为在本实例的分析过程中梁的截面特性用不到。在Area moment of inertia (截 面 惯性矩)文本框种输入“800.6”，在Total beam height (梁的高度)文本框输入“18”，指 定 梁的截面惯性矩等于 800.6mm4，梁的高度为 18mm。 5．对话框中的其余参数保持缺省值。单击 按钮，关闭 Real Constants for BEAM3 (单元 BEAM3 的实常数定义)对话框。完成对单元 BEAM3 实常数的定义。在实常数定义对 话 框中将会出现定义的实常数。 6．重复步骤 2 的过程，在弹出的选择 Element Type for Real Constants (定义实常数 的 单元类型)对话框的列表框中单击“Type 2 MASS21”，使其高亮度显示。然后单击 按 钮，将弹出 Real Constant Set Number 2,for MASS21 (为 MASS21 单元定义实常数的) 对 话 框，如图 14.9 所示。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

### 概率论与随机过程 #### 基本概念 - **概率论**：概率论是一门研究随机现象数量规律性的学科。它主要探讨事件发生的可能性大小，并通过数学工具来描述这种不确定性。 - **随机过程**：随机过程是概率论的一个分支，它研究的是时间序列或空间分布中的随机现象，即随着时间变化的随机变量集合。 #### 测度论基础 - **测度论**：测度论是数学分析的一个分支，主要研究集合的“大小”。在概率论中，测度论提供了一种严谨的方法来处理概率空间和随机变量。 - **概率空间**：一个概率空间是由一个样本空间\( \Omega \)、一个定义在\( \Omega \)上的σ-代数\( \mathcal{F} \)以及一个概率测度\( P \)组成的三元组\( (\Omega, \mathcal{F}, P) \)。 - **样本空间\( \Omega \)**：所有可能结果的集合。 - **σ-代数\( \mathcal{F} \)**：\( \Omega \)上的子集族，满足特定的封闭性质。 - **概率测度\( P \)**：将\( \mathcal{F} \)中的每个事件映射到\([0, 1]\)区间内的实数，表示该事件发生的概率。 #### 随机变量及其分布 - **随机变量**：随机变量是从概率空间\( (\Omega, \mathcal{F}, P) \)到实数集\( \mathbb{R} \)的可测函数。它可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。 - **离散型随机变量**：取值为有限个或可列无限多个的随机变量。 - **连续型随机变量**：其取值范围为连续区间的随机变量。 - **分布函数**：随机变量\( X \)的分布函数\( F_X(x) = P(X \leq x) \)，它是描述随机变量概率分布的重要工具之一。 - **概率密度函数**：对于连续型随机变量\( X \)，如果存在非负可积函数\( f_X \)，使得对任意\( x \in \mathbb{R} \)，有\( F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \)，则称\( f_X \)为\( X \)的概率密度函数。 #### 特征函数 - **特征函数**：随机变量\( X \)的特征函数定义为\( \varphi_X(t) = E[e^{itX}] \)，其中\( i \)为虚数单位。特征函数是研究随机变量的一种有力工具，它可以帮助我们推导出随机变量的许多性质。 - **特征函数的性质**： - **唯一性**：两个随机变量如果具有相同的特征函数，则它们的分布相同。 - **连续性**：特征函数总是连续的。 - **可微性**：如果随机变量的特征函数可微，那么可以通过对其求导来得到随机变量的矩。 - **逆变换公式**：利用特征函数可以恢复随机变量的分布函数。 #### 随机过程 - **时间序列**：时间序列是指按时间顺序排列的一系列数据点，是随机过程的一种具体表现形式。 - **布朗运动**：一种特殊的连续时间随机过程，常被用来模拟股价变动等现象。 - **马尔科夫过程**：一类重要的随机过程，其特点是未来状态只依赖于当前状态而不依赖于过去的状态。 - **泊松过程**：一种描述稀有事件发生的随机过程，例如电话呼叫的到来、放射性粒子的发射等。 #### 总结 通过对以上内容的介绍，我们可以看到，《概率论与随机过程》这本书涵盖了概率论的基础理论，特别是以测度论为基础的概率论的最基本的概念、方法和理论。此外，书中还详细介绍了特征函数这一重要工具，这对于理解随机变量的性质至关重要。对于希望深入了解概率论与随机过程理论及其应用的读者来说，本书提供了丰富的资源和深入的见解。

《概率论与数理统计第四版》是一本深入学习概率论基础理论的教材，其中包含丰富的练习题，旨在帮助学生巩固所学知识。本章主要探讨的是概率论的基本概念，包括随机试验、样本空间以及事件的关系与运算。 样本空间是随机试验所有可能结果的集合。例如，在记录小班一次数学考试的平均分数这个试验中，样本空间S由所有可能的百分制平均分组成，范围从100分到n分（n为小班人数）。在生产产品直到得到10件正品的例子中，样本空间S由需要生产的总件数构成，可能的值从10开始，直到无限大，因为理论上可能需要无限次才能得到10件正品。 事件的关系和运算是概率论中的核心概念。例如，A发生，B与C都不发生的事件可以表示为CBA，也可以写作A-(AB+AC)或A-(B∪C)。这些表示方式揭示了事件之间的逻辑关系，例如并集、交集和补集的概念。对于多个事件至少有一个发生的概率，可以用事件的并集表示，如A+B+C表示A、B、C至少有一个发生；而ABC表示A、B、C都发生，CBA则表示A、B、C都不发生。 概率的计算通常涉及到事件的概率乘积、加法原理和减法原理。例如，当P(A)=0.6，P(B)=0.7时，要使P(AB)取到最大值，A和B必须是相同的事件，即A=AB，最大值为P(A)=0.6；相反，P(AB)取到最小值的情况是A和B互斥，即A∪B=S，最小值为P(AB)=P(A)+P(B)-1=0.3。 对于多事件的概率问题，如A，B，C至少有一个发生的概率，可以利用概率的加法规则来计算。例如，如果P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=0.850，则A、B、C至少有一个发生的概率为0.850。 在实际应用中，概率计算还可以用于评估特定事件发生的可能性，如英语单词的排列概率或电话号码的独特性。例如，从26个字母中随机选取两个不同字母排列，形成字典中55个单词之一的概率是226/130；而在电话号码簿中选取一个号码，后四位数字全不相同的概率是410/5040。 概率论还涉及组合问题，例如在有10人的情况下，选择3人的组合，以及这些组合中满足特定条件（如最小号码或最大号码为5）的概率。这种问题可以通过组合计数来解决，例如，最小号码为5的概率是选择1个号码为5的人与其他2个号码大于5的人的组合数除以总的3人组合数。 概率论与数理统计课程涵盖了从基本概念到复杂事件的概率计算，以及实际应用中的概率分析，这些都是理解和应用概率论的关键。通过解答这些习题，学生能够更好地掌握概率论的理论知识，并提升解决实际问题的能力。

图 13.24 结构静力分析选项对话 框 7.在 Stress stiffness or prestress (应力刚度或预应力)下拉框中选择 Prestress ON，打开预 应力选项。 8．其它分析选项保持缺省设置，各选项的具体的说明可参考静力分析介绍。单击 按钮，完成静力分析选项的设置。 9．选择菜单路径 Main Menu | Solution | Current LS，将弹出/STATUS Command (求解 命令状态)输出窗口(见图 13.25)和 Solve Current Load Step (求解当前载荷步)对话框 (见图 13.26)。 前载荷步对话框中的 按钮，进行轮盘在离心力作用下的考虑预应力影响的静力分析 求解。如果有不符合要求的地方，则回到相应菜单对其进行修改。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

内容概要：本文档是针对本科生早中期数理基础复习的详细指南，涵盖《线性代数》《高等数学》《概率论与数理统计》三个科目。主要内容包括线性代数中的行列式、矩阵、向量、特征值与特征向量、二次型；高等数学中的极限、可导可微可积、微分中值定理、泰勒与傅里叶展开以及向量场理论；概率论部分讲述了随机事件、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理等核心概念。 适合人群：准备保研或考研的学生，特别是理工科专业需要扎实数学功底的人群，也适用于大学一年级到三年级的基础课程复习。 使用场景及目标：帮助考生系统梳理并深入理解数学中的关键理论和技术，巩固知识体系；提升解决复杂实际问题的能力；为接下来更高层次的学习打下坚实的理论基础。 其他说明：文档提供详细的证明步骤和实例解析，并附录了一些保研面试可能会遇到的问题解答。通过对本教材的学习，不仅有助于提高笔试成绩，还能增强综合素质评价环节的表现。

概率论与数理统计是统计学的基础，也是数据分析、机器学习等领域不可或缺的理论支撑。浙江大学作为国内顶尖高校，其在该领域的教学资源自然备受关注。这份"浙江大学 概率论与数理统计 ppt"很可能是该校教授或讲师精心制作的教学课件，旨在帮助学生深入理解和掌握这门学科的核心概念与方法。 概率论是研究随机现象的数学理论，它通过概率这一度量来描述事件发生的可能性。在PPT中，可能会包含以下知识点： 1. **概率的基本概念**：包括概率的定义、古典概率、几何概率、条件概率、独立事件等。 2. **概率的计算**：如加法定律（互斥事件）、乘法定律（独立事件）、全概率公式、贝叶斯公式等。 3. **随机变量**：离散随机变量与连续随机变量的概念，概率分布函数（PDF）和累积分布函数（CDF），常见分布如二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布等。 4. **期望与方差**：随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差，以及它们的性质和计算。 5. **大数定律与中心极限定理**：这两个定理是概率论中的基石，解释了大量重复实验结果的稳定性，为统计推断提供了理论基础。 数理统计则主要涉及数据的收集、分析和解释，包括以下几个方面： 1. **抽样分布**：样本统计量（如样本均值、样本方差）的分布，如t分布、卡方分布、F分布。 2. **参数估计**：点估计（最可能的参数值，如矩估计、极大似然估计）与区间估计（置信区间的构造）。 3. **假设检验**：包括单样本检验（如均值、比例的检验）、双样本检验（独立样本、配对样本）以及卡方检验、F检验等。 4. **回归与相关分析**：线性回归模型、多元回归、残差分析，以及相关系数的理解和应用。 5. **方差分析**（ANOVA）：用于比较多个组别的均值差异，包括单因素和多因素方差分析。 6. **非参数检验**：适用于数据分布未知或者分布不均匀的情况，如Mann-Whitney U检验、Kruskal-Wallis H检验。 7. **统计软件的应用**：如何利用Excel、R语言、SPSS等工具进行数据分析和可视化。 这份PPT应该会结合实际案例，通过图表和示例帮助学生直观地理解这些概念，并提供一些习题以巩固所学。对于希望深入学习概率论与数理统计的人来说，这是一个非常有价值的资源。

《考研数一概率论知识点（含例题、注释）手写笔记》是一份非常珍贵的学习资料，专为备考考研数学一的同学准备。这份笔记详细梳理了概率论的基础概念、重要定理和典型例题，同时也融入了作者的个人理解和体会，对于深化理解与记忆知识点大有裨益。下面我们将深入探讨这份笔记中可能涵盖的关键知识点。 1. **概率论基础**：笔记首先会介绍概率论的基本概念，如样本空间、事件、概率的定义及其性质。这部分内容是后续深入学习的基础，包括概率的加法定理、乘法定理以及条件概率等。 2. **随机变量**：随机变量是概率论的核心，笔记将详细阐述离散型和连续型随机变量的概念，以及它们的概率分布，比如二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布等。同时，还会讲解期望值、方差等随机变量的统计特性。 3. **多维随机变量**：在考研数一中，多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布是重点。笔记可能会通过实例解释如何计算这些分布，并讨论独立性的概念。 4. **大数定律和中心极限定理**：这两个定理是概率论中的基石，对于理解和应用概率理论至关重要。大数定律揭示了独立同分布随机变量序列的平均趋于期望值的规律，而中心极限定理则说明了独立同分布随机变量和的分布趋近于正态分布。 5. **随机过程**：虽然考研数一对随机过程的要求不如对其他部分深，但笔记可能也会提及简单随机过程，如马尔可夫链，以及随机过程的一些基本概念。 6. **极限定理**：除了大数定律，笔记可能还会涉及切比雪夫不等式、伯努利定理等，这些都是概率论中的重要极限结果，对于理解和解决实际问题有重要作用。 7. **统计推断**：这部分可能涉及参数估计和假设检验，包括矩估计、最大似然估计以及t检验、卡方检验等常见统计方法。 8. **例题解析与体会**：笔记的亮点在于结合例题进行深入解析，这有助于考生掌握解题思路和技巧。作者的个人体会可以帮助考生避免常见错误，提升解题效率。 9. **解题策略**：笔记可能还包含了如何高效复习和应对考试的策略，如时间管理、答题技巧等，这对于考研备考至关重要。 通过这份详尽的手写笔记，考生可以系统地复习概率论的知识，理解并掌握每个知识点的实质，提高解题能力。同时，作者的注释和体会将使学习更加生动有趣，帮助考生在备考过程中少走弯路，更好地迎接考研挑战。

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《概率论与数理统计B》是高等学府数学课程中的重要组成部分，尤其在理工科专业和经济管理类专业中广泛被用作基础课程。西安邮电大学的这份压缩包文件包含了历年来的期中和期末考试试卷，对于学生备考、教师教学以及自我评估都有着极高的参考价值。 我们要理解概率论与数理统计B的基本概念。概率论是研究随机现象规律性的数学理论，它涉及概率、随机变量、分布函数等核心概念。数理统计则主要研究如何收集、分析、解释和展示数据，通过统计方法来推断总体特征，包括样本、抽样分布、置信区间、假设检验等关键内容。 1. **概率论部分**： - **概率**：概率是对事件发生的可能性的度量，通常介于0（不可能发生）和1（必然发生）之间。 - **随机变量**：随机变量是可能取到不同数值的变量，可以是离散型或连续型。 - **分布**：离散型随机变量有概率质量函数，连续型随机变量有概率密度函数，它们描述了随机变量取值的概率分布。 - **期望与方差**：期望是随机变量的平均值，方差衡量随机变量的波动程度。 2. **数理统计部分**： - **样本与总体**：样本是从总体中抽取的一部分观测值，总体则是所有可能观测值的集合。 - **抽样分布**：某一统计量（如均值、方差）在多次重复抽样下的分布情况。 - **中心极限定理**：大样本情况下，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布接近正态分布。 - **置信区间**：通过样本数据估计总体参数的范围，如总体均值的95%置信区间。 - **假设检验**：检验关于总体参数的假设，如零假设和备择假设，常用t检验、卡方检验、F检验等。 在西安邮电大学的期中期末试卷中，这些概念和方法可能会以计算题、证明题和应用题的形式出现。例如，可能会要求计算随机变量的期望和方差，或者进行假设检验以判断某种假设是否成立。同时，试卷也可能包含数据分析和解释的实际问题，考察学生运用统计知识解决实际问题的能力。 通过研究这些历年试题，学生可以了解到出题趋势，了解教授对知识点的侧重，从而有针对性地复习和准备。教师也可以从中获取教学反馈，调整教学内容和方式。这份压缩包是学习概率论与数理统计B的重要参考资料，能够帮助学生巩固理论知识，提升实践技能。

概率论是统计学和数学的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性，它涉及一系列理论概念、计算方法和实际应用。在"概率论.zip"这个压缩包中，我们可以期待找到与山东大学软件学院概率论课程相关的复习材料，可能是讲义、习题集或者模拟试题，这些都是为了帮助学生准备考试或理解课程内容而设计的。 "概率论"这个主题涵盖了多个关键知识点： 1. **概率定义**：概率是对随机事件发生的可能性的度量，通常用0到1之间的一个实数表示，0代表不可能发生，1代表必然发生。 2. **概率基本性质**：概率的非负性，概率的归一性（所有可能事件的概率和为1），以及独立事件的概率乘法规则。 3. **古典概型**：在等可能的情况下，古典概型用于计算简单事件发生的概率，例如抛硬币、抽卡等。 4. **几何概型**：在连续区间上，几何概型用于计算连续随机变量落在某一区域内的概率。 5. **条件概率**：在已知某些信息的情况下，事件A发生的概率称为条件概率，公式为P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中B是非零概率事件。 6. **乘法法则和全概率公式**：乘法法则用于两个独立事件同时发生的概率计算，全概率公式用于已知部分条件概率求整体概率。 7. **事件的关系与运算**：包括并集、交集、差集、对称差等，以及它们的概率运算规则。 8. **独立事件**：两个事件独立意味着它们的发生互不影响，事件A的发生不会改变事件B发生的概率。 9. **随机变量**：分为离散随机变量和连续随机变量，分别对应概率质量函数和概率密度函数。 10. **期望与方差**：随机变量的期望值是其各可能取值与相应概率的乘积之和，方差衡量随机变量的波动程度。 11. **大数定律**：当试验次数趋于无限大时，样本均值接近于总体均值，这是概率论中的稳定性原理。 12. **中心极限定理**：大量独立同分布随机变量的和近似服从正态分布，无论这些随机变量本身的分布是什么。 13. **贝叶斯定理**：在新的证据或信息出现后更新对某个事件概率的估计，是统计推断中的基础工具。 14. **分布函数**：描述随机变量取值的累积概率，对于连续随机变量是累积分布函数（CDF），对于离散随机变量是累积概率质量函数。 15. **二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布**：常见的概率分布，各有其特定的应用场景和特性。 通过学习这些概念，学生可以更好地理解和分析现实生活中各种随机现象，如金融市场波动、疾病检测、人口增长等。山东大学软件学院的这组复习资料，无疑将帮助学生深入理解概率论的理论基础，掌握计算技巧，并能应用于实际问题的解决。