### 有限元方法知识点概述 #### 一、有限元方法概览 有限元方法(Finite Element Method, FEM)是一种广泛应用于工程领域的数值求解技术，主要用于求解复杂的物理问题，特别是那些涉及到偏微分方程的问题。这种方法的核心思想是通过将连续体划分为一系列简单的几何单元（即“有限元”），然后对每个单元进行分析，最终通过组合各个单元的结果来获得整体解决方案。 #### 二、有限元方法的关键概念 **1. Ritz 方法** Ritz方法是一种变分方法，用于寻找一个近似解，该近似解能够最小化能量泛函。这种方法的核心在于选择一组适当的试函数，这些试函数应该满足边界条件，并且能够近似真实解的空间。对于两点边值问题，Ritz方法的目标是找到一个函数\( u \)使得能量泛函\( J[u] \)最小。 **2. Galerkin 方法** Galerkin方法同样是基于变分原理的方法之一，但与Ritz方法不同的是，它通过确保残差与测试函数的内积为零来构建有限元方程。这种方法的优势在于它可以处理更广泛的边界条件，并且对于某些类型的偏微分方程更为有效。 **3. 有限元方程的建立** - **变分问题**：将原始的边值问题转换为一个变分问题，通常是通过寻找某个能量泛函的极小值。 - **剖分**：将求解区间或区域分解为有限个单元，每个单元可以是线段、三角形或其他多边形等。 - **基函数/单元形状函数**：在每个单元内定义一组基函数，这些基函数通常具有局部支持性质，即它们只在一个或几个相邻单元内非零。 - **有限元方程**：根据所选的基函数集合，利用Ritz或Galerkin方法构建有限元方程组，这些方程组可以用来求解未知系数。 **4. 求解有限元方程** 一旦建立了有限元方程组，就可以使用各种数值方法（如迭代法或直接法）来求解这些方程组。常见的求解器包括共轭梯度法、预条件共轭梯度法等。 **5. 误差分析** 完成有限元求解后，还需要进行误差分析，以评估解的质量。这通常涉及到比较有限元解与精确解之间的差异，以及研究解的收敛性和稳定性等。 #### 三、两点边值问题的有限元方法 对于两点边值问题，有限元方法的步骤如下： - **变分问题的建立**：将边值问题转化为求解某个泛函的极小值问题。 - **剖分**：对求解区间进行剖分，例如将其分为多个小区间。 - **基函数的选择**：选择合适的基函数，通常是线性的或更高阶的多项式。 - **有限元方程的建立**：利用Ritz或Galerkin方法建立有限元方程。 - **求解**：求解有限元方程组，得到有限元解。 #### 四、二维边值问题的有限元方法 针对二维边值问题，有限元方法的步骤与一维问题类似，但涉及到更多细节： - **三角剖分**：将二维区域划分为一系列三角形单元。 - **分片插值**：在每个三角形内定义基函数。 - **单元分析**：分析每个单元内的行为。 - **总体合成**：将所有单元的结果整合起来，形成完整的系统方程。 - **积分计算**：为了构建有限元方程，需要进行数值积分。 - **有限元方程求解**：求解最终的有限元方程组。 有限元方法是一种强大的工具，不仅适用于简单的两点边值问题，还可以扩展到更复杂的一维或多维问题。通过合理选择基函数和剖分策略，可以有效地解决各种工程和科学领域中的实际问题。

mfem：轻量，通用，可扩展的C ++库，用于有限元方法

我们将建立一个类似iFEM的包或具有某些扩展的简化版本，称为mFEM工具箱。 fem：它包括各种源代码。 示例：所有与有限元和变分对应的示例都放在示例文件夹中。 工具：您可以找到涉及可视化、边界设置、网格生成和数值积分等功能。 pdedata：它提供了与示例文件夹中的示例相关联的方程的信息。 meshdata：它讲述了各种示例中使用的网格数据。 matlabupdate：更新版本的matlab中的一些函数是用相同的输入和输出重构的。例如，包含.m--->分枝杆菌.m。 多边形网格的显示和标记 我们提出了一些显示多边形网格的基本函数，包括节点、元素和（边界）边的标记。 辅助网格数据和setboundary.m 为了便于计算，我们引入了一些辅助网格数据。这个想法源于iFEM中对三角测量的处理，该处理被推广到经过某些修改的多边形网格。 FEM1D.m和main_FEM1D.m介绍了一维问题的有限元程序设计。详细说明了刚度矩阵和载荷矢量的组合。 给出了求解二维泊松方程的源代码，见Poisson.m、PoissonP2.m和PoissonP3.m。 对于线性弹性问题，我们给出了一个统一的规划框架

高斯求积代码matlab GDE-FEM_1.0 MATLAB代码用于模拟经历凝结和凝结过程的气溶胶数量分布的时间演变。 近似方法应用了有限元方法。 提供了示例代码，说明如何使用这些功能来估计气溶胶数量分布： example_size_dist_evolution.m example_size_dist_evolution.m使用此软件包中提供的功能。 可以通过运行以下代码来复制“将有限元方法应用于气溶胶通用动力学方程（GDE-FEM 1.0）-与经典数值逼近进行比较”一文中得出的结果： GDE_FEM_MAIN.m 提供的功能 气溶胶数量分配的功能位于子文件夹GDE_functions中。 此处给出了代码的简短说明。 有限元矩阵创建代码 Coagulation_FEM_matrix_creator ：使用梯形规则方法创建凝血FEM矩阵。 Coagulation_quadrature_matrix_creator ：创建具有3点或5点高斯正交的凝固FEM矩阵。 Condensation_FEM_matrix_creator ：为冷凝方程式创建Petrov-Galerkin和Galerk

详细介绍了流体力学中的有限元方法及其快速迭代技术，针对流体方程开展方程离散化，并对形成的矩阵方程开展加速求解技术，该类方法为有限元在其他领域(电磁场、力学等)的应用提供了较好的借鉴。

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用于生成二维非结构化（3 节点或 6 节点）三角形网格的 MATLAB 函数集。 作为输入，代码采用域几何的有符号距离函数。 空间节点分布的网格大小函数是使用近似中轴构建的。 作为输出，代码生成具有边界数据（边和节点）的 3 节点或 6 节点三角形网格。 提出的方法包括三个步骤：（1）使用概率节点分布获得初始节点放置，（2）假设存在吸引力/排斥力的节点间力，执行迭代平滑，以及（3）快速细化程序用于 6 节点三角形网格或大型网格。 更多细节： Koko J.，用于二维有限元方法的 Matlab 网格生成器，应用数学与计算 250，第 2 页。 650-664 (215)

有限元编程 附代码 pdf文档 图书

[有限元方法编程(第三版)].(美)史密斯&格里菲斯，只有书的pdf，不含源代码。Programming the Finite Element Method, Third Edition 作者: (美)I.M. Smith (美)D.V.

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