复变函数 作　者： 纪友清，曹阳，侯秉喆，张敏 编 出版时间：2015 丛编项： 普通高等教育“十二五”规划教材 内容简介 《复变函数》的授课对象包括基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业以及唐班等本科二年级学生，已使用8次，已使用人数约1，800人。编写本书的目标是将复变函数的教学放在一个更大的整体框架中考虑。在纵向上要配合后继教学以及学生从事科研的基础知识的需要，在横向上希望契合其他学科特别是理论物理学科的需求。实践证明，本教材较适合数学学院各方向的本科生使用。 目录 前言 第1章复数 1 1.1基本知识 1 1.1.1复数的表示和运算法则 1 1.1.2开集、闭集和紧集 1 1.1.3平面集合的复数描述 2 1.1.4平面上的连续曲线 2 1.1.5区域 3 1.1.6WadaLake:平面上的怪异集合* 3 1.2辐角函数 3 1.2.1辐角函数的多值性 3 1.2.2辐角函数的定义：函数Argz0γ 4 1.3辐角函数的单值区域 6 1.3.1充分接近的曲线 7 1.3.2曲线的同伦 9 1.3.3Riemann的想法 12 1.4无穷远点与Riemann球面 12 1.4.1Riemann球面 12 1.4.2无穷远点的邻域和C.上的开集 13 习题 14 第2章复变函数 16 2.1复平面与增广复平面上的连续函数 16 2.1.1基本定义 16 2.1.2复线性函数f(z)=αz 16 2.2复变函数的导数 18 2.2.1复变函数导数的定义 18 2.2.2Cauchy-Riemann方程 18 2.2.3导数的几何意义 20 2.3解析性质 21 2.3.1曲线的切线 21 2.3.2局部复线性化 22 2.3.3保形性蕴涵解析性 23 2.4几类特殊的解析函数 24 2.4.1多项式函数和有理函数 25 2.4.2指数函数 26 2.4.3对数函数 28 2.4.4幂函数 28 2.5复合函数的支点以及单值解析分支 30 2.5.1支点 30 2.5.2导数等于0 31 习题 32 第3章复函数的积分 35 3.1复函数的积分的定义 35 3.1.1复变量实值函数的积分 35 3.1.2复函数的曲线积分 35 3.1.3复曲线积分和实积分的联系 36 3.1.4两个定义的比较 38 3.1.5分段光滑曲线 39 3.1.6一个常用的观察 40 3.2矩形区域上的Cauchy定理 41 3.2.1一个不等式 41 3.2.2解析函数在一点附近的复积分 42 3.2.3矩形区域上的Cauchy定理 43 3.3原函数 44 3.3.1定义和基本性质 44 3.3.2凸区域上的解析函数 46 3.4单连通区域上的Cauchy定理 48 3.4.1定理的证明 48 3.4.2一般区域上的Cauchy积分定理 49 3.5同调形式的Cauchy定理 50 3.5.1简单闭曲线上的Cauchy积分公式 50 3.5.2一般形式的Cauchy积分定理 51 3.6Cauchy定理的应用 54 3.6.1解析函数的可微性 54 3.6.2Cauchy不等式与Liouville定理 55 3.6.3Morera定理 56 3.6.4内闭一致收敛 56 习题 57 第4章级数 60 4.1复数项级数 60 4.1.1基本定义 60 4.1.2复数项级数的收敛判别准则 60 4.1.3绝对收敛与复数项级数的Cauchy乘积 60 4.1.4复函数项级数 61 4.1.5解析函数项级数的极限 61 4.2Taylor展式 62 4.2.1幂级数