【LQR和微分博弈1】讲解了最优控制的数学理论，主要涵盖了庞特里亚金极小值原理（PMP）和哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（HJB方程），以及微分博弈的基础知识，并通过一个零和追逃博弈的实例进行了阐述。 最优控制问题在工程、经济和物理等多个领域都有广泛应用。其基本框架是，给定一个受控系统的动态方程，以及一个性能指标函数，目标是找到一个控制策略使得该性能指标达到最优。在这个过程中，状态方程描述了系统随时间变化的规律，而性能指标通常包括终态条件和过程成本。 庞特里亚金极小值原理是解决这类问题的一种方法。它指出，对于最优控制问题，存在一组辅助变量——协态（或称为李雅普诺夫向量），通过满足极值条件和规范方程来确定最优控制。极值条件表明，对于任意可行的控制，H函数（哈密顿量）的值在最优控制下是最小的。规范方程则给出了状态和协态的演化规则，同时边界条件处理了目标集的问题。 HJB方程是动态规划理论在连续时间控制问题中的体现，它源于贝尔曼的最优性原理。值函数定义为从某一初始状态和时间出发，采用最优控制策略到达目标时的性能指标。HJB方程描述了值函数随时间和状态变化的关系，且在最优控制下，值函数应满足该方程。当值函数存在二阶连续偏导数时，HJB方程提供了求解最优控制问题的微分必要条件。 微分博弈是多agent系统中决策优化的一个分支，涉及到两个或多个参与者相互作用的动态过程。每个参与者都试图最大化自己的效用，而这个效用可能与对方的策略直接相关。在零和追逃博弈的实例中，两个参与者（追者和逃者）通过调整各自的控制策略，试图达到各自的目标，例如追者试图抓住逃者，而逃者则要避免被捕。 总结来说，LQR（线性二次调节器）是一种特定的最优控制问题，而微分博弈则是考虑多方交互的最优控制理论。这些理论不仅在理论上有重要意义，也在实际应用中有着广泛的价值，如自动驾驶、航空航天控制、电力系统调度等。通过理解和应用PMP、HJB方程以及微分博弈理论，我们可以设计出更加智能和高效的控制系统。

2.1 运动控制方案系统结构 2.1.1 传统的控制系统 典型的运动控制系统的结构框图如图 2.1 所示 [17] 。它包括人机界面、运算处理器、 检测传感器、执行装置等等（一般还需要有安全辅助措施）。运算处理单元是系统的核 心，主要完成控制算法的实现。当今微处理器更新换代的很迅速，运算处理单元已经可 以实时的计算相当复杂或者高难度的算法。运算处理器接受传感器的信号，监测被控对 象当前状态，然后通过预定算法来产生控制指令，输出给执行装置。执行装置通常是通 过功率放大器将控制指令信号放大成功率信号，控制伺服电机、气动阀、电磁阀、继电 器等执行机构。另外，为了与人沟通，通常还需要有人机界面。人机界面用于显示系统 中人所关心的参数或者动画轨迹，接收操作员的指示，完成对系统的配置任务。

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