# 基于Python和PyTorch的PINN求解偏微分方程 ## 项目简介 本项目使用Python和PyTorch实现PINN（PhysicsInformed Neural Network，物理信息神经网络）来求解偏微分方程。PINN是一种结合物理规律与神经网络的方法，能够利用物理先验知识辅助神经网络的训练，从而得到更好的模型性能。本项目通过PINN求解了薛定谔方程和Burgers方程，展示了PINN在求解偏微分方程方面的应用。 ## 项目的主要特性和功能 1. PINN求解薛定谔方程通过PINN网络逼近薛定谔方程的解，使用PyTorch的自动微分功能计算网络输出的梯度，结合薛定谔方程的残差项构建损失函数进行训练。 2. PINN求解Burgers方程利用PINN网络逼近Burgers方程的解，采用与薛定谔方程相似的训练策略，结合Burgers方程的残差项构建损失函数进行训练。

数字微分器设计算例7.6.1 分别用矩形窗和哈明窗设计N=6的数字微分器。 解：此题的MATLAB程序hc761非常简单： N=6; tau=(N-1)/2; n=[0:N-1]+eps; % 微分器长度 hd =-sin((n-tau).*pi)./(pi.*(n-tau).^2); % 脉冲响应 hh=hd.*hamming(N)‘; % 加哈明窗后的系数 [Hd,wd]=freqz(hd,1); %矩形窗微分器频率响应 [Hh,wh]=freqz(hh,1); % 哈明窗微分器频率响应 运行程序所得的微分器系数分别为hd及hh。其符幅特性见下图，对三种情况进行了比较》

二维 Savitzky-Golay 微分滤波器。 这里考虑了中心点的滤波器系数和一阶导数（微分）。 用法： h=sgdf_2d(x,y,nx,ny,flag_coupling) x = x 数据点，例如 -3:3 y = y 数据点，例如 -2:2 nx =x 多项式阶数默认值=1 ny =y 多项式阶数默认值=1 flag_coupling = 考虑或不考虑 x 和 y 之间的耦合项。 默认值=0 例子： sgdf_2d(-3:3,-4:4,2,2) sgdf_2d(-3:3,-4:4,2,3,1) 作者： 罗建文 2004-10-31 生物医学工程系清华大学，北京 100084 参考[1]A. Savitzky 和 ​​MJE Golay，“通过简化的最小二乘程序对数据进行平滑和区分”， 分析化

利用Matlab实现列车-钢弹簧浮置板-轨道耦合垂向时域仿真的方法。首先对系统参数进行初始化，包括列车质量、钢弹簧刚度和阻尼比等关键参数。接着展示了如何通过微分方程建模列车与轨道之间的相互作用，特别是轮轨接触力的计算以及轨道振动的有限差分离散处理。文中还强调了选择合适的求解器（如ode45），并解释了其原因。最后，通过三维可视化展示了振动波在轨道上的传播情况，帮助识别潜在的共振危险区域。 适合人群：对轨道交通动力学感兴趣的科研人员、工程师及高校相关专业学生。 使用场景及目标：适用于研究列车行驶过程中产生的振动特性及其对轨道的影响，可用于优化轨道设计、评估列车运行安全性等方面的研究。 其他说明：本文提供的Matlab代码经过实测验证，能够准确复现《车辆-轨道耦合动力学》一书中的经典案例，并支持自定义多种工况模拟。

常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学的一个重要分支，它研究的是函数及其导数之间的关系。在这个主题中，我们通常会遇到一个或多个未知函数，以及它们的导数，这些函数需要满足特定的数学关系。王高雄版的常微分方程幻灯片为学习者提供了深入理解这一领域的宝贵资源，尽管第四章可能不完整。 1. **基本概念**: 常微分方程是由未知函数及其导数构成的一类方程。它们可以分为初值问题和边值问题，前者要求给出函数在某一点的值，后者则涉及函数在一定区间上的边界条件。 2. **分类**: - 按解的性质分：线性与非线性。线性方程可以通过超级和次级求解，而非线性方程则更为复杂，可能需要数值方法。 - 按阶数分：一阶、二阶、高阶等。一阶方程是最基础的，高阶方程可以通过降阶处理成一阶系统。 - 按解的个数分：常数解、周期解、奇解等。不同的解类型对应着不同的物理或工程现象。 3. **解法**: - 解析解：对于简单的一阶线性方程，可以使用分离变量法、积分因子法等。二阶线性齐次方程可以利用特征根和对应的线性组合求解。 - 数值解：对于复杂或非线性的方程，通常使用Euler方法、Runge-Kutta方法等数值方法来逼近真实解。 4. **线性常微分方程**： - 特征根理论：线性常微分方程的解可以表示为其特征根的指数函数的线性组合。特征根的性质决定了解的稳定性。 - 齐次与非齐次：齐次方程的解由齐次解和特解组成，非齐次方程需要找到一个特解加上齐次解的通解。 5. **微分方程的物理应用**： - 动力学：牛顿第二定律的表述常常涉及二阶常微分方程，如弹簧振子和单摆问题。 - 生物学：种群模型，如逻辑斯蒂增长模型，用一阶微分方程描述种群数量的变化。 - 控制理论：自动控制系统中的稳定性分析离不开常微分方程。 - 经济学：经济增长模型，如Solow-Swan模型，通过常微分方程来描述经济变量的动态演变。 6. **第四章：可能的缺失内容**： - 第四章通常会涉及非线性方程、相平面分析、稳定性理论等内容。非线性方程可能包括奇点分析、Hopf分岔等复杂主题。相平面分析则帮助我们直观地理解二阶方程的动态行为。稳定性理论讨论了平衡点的稳定性条件，这对于理解和预测系统行为至关重要。 以上是常微分方程的基础知识概览，虽然王高雄版的幻灯片缺失了第四章的部分内容，但学习者仍能从其他章节中获得丰富的理论和实例解析，为进一步深入研究打下坚实基础。

MATLAB是一种强大的编程环境，尤其在数学计算、数据分析和算法开发方面表现卓越。"MATLAB语言常用算法_偏微分方程的数值解法"这个压缩包文件显然聚焦于使用MATLAB来解决偏微分方程（PDEs）的问题。偏微分方程在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛应用，而其数值解法是处理复杂问题的关键。 MATLAB提供了多种内置工具和函数来帮助用户求解偏微分方程。主要的PDE求解器包括PDE Toolbox（适用于二维和三维的结构和流体问题）和FEM Toolbox（用于有限元方法）。这些工具箱包含了丰富的功能，可以用来建模、求解和后处理PDE问题。 1. **有限差分法**：这是最基础的数值解法之一，通过将连续区域离散化为网格，然后对每个网格节点上的偏微分方程进行近似。MATLAB中的`fd_coefficients`函数可以生成有限差分算子，而`deval`函数则用于在离散节点上评估导数。 2. **有限元素法**：FEM Toolbox提供了实现有限元素方法的工具。该方法通过将连续区域划分为多个互不重叠的子区域（元素），在每个元素内构造简单的基函数，从而形成全局解决方案。MATLAB中的`pdepe`函数可用于一维PDEs，而`femm`等第三方工具箱则扩展了这一功能到二维和三维空间。 3. **谱方法**：这种方法基于傅里叶级数展开，适用于周期性边界条件的问题。MATLAB的`chebfun`库提供了一种高效的方法来处理这些问题，它能够自动选择合适的基函数并进行高精度求解。 4. **投影方法**：这种方法将PDE转化为一组代数方程，通过迭代求解。MATLAB的`pdepe`函数也支持投影方法。 5. **格林函数方法**：通过求解特定的积分方程来找到问题的解。MATLAB的`integral`和`quad`函数可以用于数值积分，有助于构建格林函数。 在学习过程中，你需要理解每种方法的基本原理，熟悉MATLAB中的相关函数，并掌握如何设置边界条件、网格生成和误差分析。此外，对于复杂的PDE系统，可能还需要进行非线性处理和迭代求解。MATLAB的`ode`和`solve`系列函数是处理这类问题的强大工具。 "MATLAB语言常用算法_偏微分方程的数值解法"这个资料包将涵盖上述方法的理论和实践应用，帮助你深入理解如何利用MATLAB来解决实际的偏微分方程问题。通过学习和实践，你可以提高在数值计算领域的技能，为解决实际工程或科研问题打下坚实基础。

【LQR和微分博弈1】讲解了最优控制的数学理论，主要涵盖了庞特里亚金极小值原理（PMP）和哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（HJB方程），以及微分博弈的基础知识，并通过一个零和追逃博弈的实例进行了阐述。 最优控制问题在工程、经济和物理等多个领域都有广泛应用。其基本框架是，给定一个受控系统的动态方程，以及一个性能指标函数，目标是找到一个控制策略使得该性能指标达到最优。在这个过程中，状态方程描述了系统随时间变化的规律，而性能指标通常包括终态条件和过程成本。 庞特里亚金极小值原理是解决这类问题的一种方法。它指出，对于最优控制问题，存在一组辅助变量——协态（或称为李雅普诺夫向量），通过满足极值条件和规范方程来确定最优控制。极值条件表明，对于任意可行的控制，H函数（哈密顿量）的值在最优控制下是最小的。规范方程则给出了状态和协态的演化规则，同时边界条件处理了目标集的问题。 HJB方程是动态规划理论在连续时间控制问题中的体现，它源于贝尔曼的最优性原理。值函数定义为从某一初始状态和时间出发，采用最优控制策略到达目标时的性能指标。HJB方程描述了值函数随时间和状态变化的关系，且在最优控制下，值函数应满足该方程。当值函数存在二阶连续偏导数时，HJB方程提供了求解最优控制问题的微分必要条件。 微分博弈是多agent系统中决策优化的一个分支，涉及到两个或多个参与者相互作用的动态过程。每个参与者都试图最大化自己的效用，而这个效用可能与对方的策略直接相关。在零和追逃博弈的实例中，两个参与者（追者和逃者）通过调整各自的控制策略，试图达到各自的目标，例如追者试图抓住逃者，而逃者则要避免被捕。 总结来说，LQR（线性二次调节器）是一种特定的最优控制问题，而微分博弈则是考虑多方交互的最优控制理论。这些理论不仅在理论上有重要意义，也在实际应用中有着广泛的价值，如自动驾驶、航空航天控制、电力系统调度等。通过理解和应用PMP、HJB方程以及微分博弈理论，我们可以设计出更加智能和高效的控制系统。

在数学和科学计算领域，延时微分方程（Delay Differential Equations, DDEs）是一种常见的模型，用于描述系统中具有时间滞后效应的现象。在实际应用中，DDEs广泛应用于生物、化学、工程、经济等多个学科。解决这类方程通常需要特殊的数值方法，其中龙格库塔法（Runge-Kutta methods）是一种常用且有效的工具。 龙格库塔法是一种数值积分方法，最初由卡尔·龙格和明可夫斯基分别独立发展，用于常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的近似求解。该方法通过构造一系列加权函数，将微分方程的解近似为这些函数的线性组合，从而逐步推进解的时间步长。龙格库塔法有多种阶数，包括四阶、五阶、六阶等，阶数越高，精度通常也越高，但计算复杂度会增加。 对于延时微分方程，由于涉及到过去时间点的函数值，所以在数值求解时需要额外处理。通常的做法是先存储一定历史时期的解，然后在每次时间步进时考虑这个历史区间内的信息。MATLAB作为一个强大的数值计算环境，提供了丰富的工具箱支持DDEs的求解，如`dde23`、`dde solver suite`等函数。 在提供的压缩包文件中，"龙格库塔法求解延时微分方程matlab"可能是包含MATLAB代码的脚本或函数，用于演示如何利用龙格库塔法来解决DDE问题。通常，这样的代码会定义DDE的延迟项，设置初始条件，选择适当的龙格库塔方法，并进行时间步进计算。它可能还会包含对解的可视化和结果分析。 【源码使用必读】.url文件则可能是一个链接，指向详细的使用指南或者教程，帮助用户理解代码的工作原理，以及如何根据自己的需求修改和应用这段代码。在使用之前，建议先阅读这个链接，了解基本概念和操作步骤，以确保正确理解和运行代码。 为了深入理解这个压缩包中的内容，你需要熟悉MATLAB的基本语法和数值计算功能，特别是DDE的求解部分。同时，理解延时微分方程的数学背景也很重要，包括DDE的定义、解的存在性和稳定性分析等。此外，掌握一定的数值分析知识，如误差分析和稳定性理论，将有助于你更好地评估和优化求解过程。

《偏微分方程与有限元方法》是数学与工程科学领域的重要著作，由Pavel Solin撰写，属于Wiley-Interscience系列丛书的一部分。该书详细介绍了如何运用有限元方法求解偏微分方程，为读者提供了一个深入浅出的学习路径。 ### 偏微分方程 偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是在多个自变量的函数及其偏导数之间建立关系的方程。它们在物理学、工程学、经济学等众多领域中都有广泛的应用，例如热传导方程、波动方程以及流体动力学方程等。PDEs的求解对于理解物理现象、预测系统行为至关重要。 ### 有限元方法 有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值解法，用于求解复杂的偏微分方程问题。它的基本思想是将连续问题离散化，即将一个复杂区域划分为许多小的单元（称为有限元），然后在这些单元上近似求解原始问题。这种方法能够处理具有复杂几何形状和边界的物理系统，是现代工程计算的重要工具之一。 ### 如何利用有限元求解偏微分方程 #### 1. 函数空间的构建 有限元方法首先涉及到的是函数空间的选取，即选择哪些函数来近似原问题的解。通常情况下，会选用多项式函数作为基函数，因为它们易于操作且能很好地逼近各种复杂函数。 #### 2. 离散化过程 接下来，需要对原始的连续问题进行离散化，将整个问题域划分为一系列的有限单元。每个单元内部的解可以用单元上的节点值来表示，而节点之间的插值则由选定的基函数决定。 #### 3. 弱形式的形成 为了得到适合数值求解的形式，原问题常常被转化为其弱形式。这意味着原方程被乘以一个测试函数并积分，从而得到了一个更易于处理的变分方程。通过在每个单元上应用这种转化，可以得到一组关于节点未知数的代数方程组。 #### 4. 求解代数方程组 最后一步是求解由此产生的代数方程组，这通常是通过迭代或直接求解技术完成的。一旦求得了节点值，就可以在整个问题域内重建解的近似值。 ### 应用实例 有限元方法在解决实际工程问题时表现出了强大的能力。例如，在结构力学中，它可以用来分析桥梁、建筑物等结构在不同载荷下的响应；在流体力学中，可以模拟空气流动或液体流动；在热传导问题中，可以预测热量分布等。 ### 结论 《偏微分方程与有限元方法》一书不仅深入浅出地讲解了有限元方法的基本原理，还提供了丰富的理论与实践指导，是学习和研究这一领域的宝贵资源。通过掌握有限元方法，工程师和科学家们能够更准确地建模和预测复杂的物理现象，推动科学技术的发展。

常微分方程是数学中的一个重要分支，主要研究函数及其导数随时间变化的规律。在自然科学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。本课程教案是针对高等教育阶段的学生设计的，旨在深入理解常微分方程的基本理论和解题方法。 一、基本概念 常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是一类方程，其中未知函数的导数以某种形式出现在方程中。根据未知函数的阶数，常微分方程分为一阶、二阶、三阶等。例如，一个简单的二阶常微分方程可以表示为：y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t)，其中y''、y'分别代表y关于t的二阶导数和一阶导数，p(t)、q(t)、g(t)是已知函数。 二、解的分类 1. 特解：满足特定初始条件的解。 2. 通解：包含所有可能解的表达式，通常由特解和齐次解组成。 3. 齐次解：当方程右侧为零时的解。 4. 非齐次解：方程右侧不为零时的解，可以通过待定系数法找到。 三、解法 1. 初值问题：寻找满足特定初始条件的解，如y(t0) = y0，y'(t0) = y0'。 2. 分离变量法：适用于形如dy/dt = f(t)g(y)的方程，通过积分求解。 3. 线性常系数齐次方程：利用特征根法，通过解线性代数方程组得到解。 4. 超几何级数法：对于非齐次线性方程，可以采用超几何级数求解。 5. 变量代换法：通过合适的变量变换简化方程结构。 6. 微分方程组：当方程涉及多个变量时，转化为微分方程组处理。 四、常微分方程的应用 常微分方程在众多领域都有应用： 1. 物理学：动力学系统、热传导、电磁学。 2. 工程学：电路分析、控制理论、振动分析。 3. 生物学：种群模型、生理过程。 4. 经济学：经济增长模型、供需平衡分析。 5. 社会科学：人口增长、资源消耗。 五、课程教案与习题解 本课程教案详细讲解了常微分方程的基础理论，包括基本概念、解的性质、解法策略等内容，并提供了丰富的习题以供学生练习。习题解部分则针对每一道习题给出详尽解答，帮助学生巩固理论知识，提升解题能力。 学习常微分方程不仅需要扎实的数学基础，更需要良好的抽象思维能力和实际问题建模能力。通过本课程的学习，学生将能够熟练掌握常微分方程的分析和求解技巧，为后续的专业研究打下坚实基础。