本文详细介绍了适用于不同椭球的高斯投影正反算公式中子午线弧长或底点纬度的计算方法, 并给出 了实用公式。该公式简便实用, 便于计算机实现。为验证此公式的正确性, 本文最后用该公式计算了54 椭球子 午线弧长及底点纬度计算式中的各系数, 与天文大地网推算的相应系数进行了比较验证。 ### 高斯平面坐标正反算的实用算法 #### 一、引言 在现代测绘技术中，全球定位系统（GPS）的应用极为广泛，通过GPS技术可以获取到高精度的坐标数据，通常这些坐标是以WGS84坐标系表示的空间直角坐标。然而，在实际生产和工程应用中，往往需要将这种空间直角坐标转换为高斯平面直角坐标。我国在过去的测绘工作中主要采用北京54坐标系和西安80坐标系，这两种坐标系都是基于不同的参考椭球。从参考椭球上的空间直角坐标或大地坐标转换到高斯平面坐标的过程中，首先需要计算出从赤道到某一纬度的子午线弧长或底点纬度。这些计算对于确保坐标转换的准确性和可靠性至关重要。 #### 二、高斯投影正反算公式 ##### 2.1 子午线弧长的计算 子午线弧长的计算是高斯投影正算的基础，它是从赤道到子午圈上任意一点纬度的弧长。假设参考椭球的长半轴为a，第一偏心率为e，则从赤道到纬度B的弧长XB0可通过以下公式计算： \[ X_{B0} = \alpha B^\circ + \beta \sin^2 B + \gamma \sin^4 B + \delta \sin^6 B + \varepsilon \sin^8 B + \zeta \sin^{10} B + \cdots \] 其中，\(\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \zeta\)等系数可以通过下列公式计算得出： \[ \begin{aligned} &\alpha = Aa(1-e^2) \\ &\beta = -\frac{B}{2}a(1-e^2) \\ &\gamma = \frac{C}{4}a(1-e^2) \\ &\delta = -\frac{D}{6}a(1-e^2) \\ &\varepsilon = \frac{E}{8}a(1-e^2) \\ &\zeta = -\frac{F}{10}a(1-e^2) \end{aligned} \] 而\(A, B, C, D, E, F\)各系数由下式确定： \[ \begin{aligned} &A = 1 + \frac{3}{4}e^2 + \frac{45}{64}e^4 + \frac{175}{256}e^6 + \frac{11025}{16384}e^8 + \frac{43659}{65536}e^{10} + \cdots \\ &B = \frac{3}{4}e^2 + \frac{15}{16}e^4 + \frac{525}{512}e^6 + \frac{2205}{2048}e^8 + \frac{72765}{65536}e^{10} + \cdots \\ &C = \frac{15}{64}e^4 + \frac{105}{256}e^6 + \frac{2205}{4096}e^8 + \frac{10395}{16384}e^{10} + \cdots \\ &D = \frac{35}{512}e^6 + \frac{315}{2048}e^8 + \frac{31185}{131072}e^{10} + \cdots \\ &E = \frac{315}{16384}e^8 + \frac{3465}{65536}e^{10} + \cdots \\ &F = \frac{693}{131072}e^{10} + \cdots \end{aligned} \] 为了简化计算过程，可以将纬度改写成\(\sin^nB \times \cos B\)的升幂级数形式，进而得出从赤道至纬度B的子午线弧长计算公式： \[ X_{B0} = c_0B - \cos B(c_1\sin B + c_2\sin^3 B + c_3\sin^5 B) \] 其中，\(c_0 = \alpha/\rho, c_1 = 2\beta + 4\gamma + 6\delta, c_2 = 8\gamma + 32\delta, c_3 = 32\delta\)。 ##### 2.2 高斯正算公式 当已知某点的大地坐标\(B, L\)时，若要求其高斯平面坐标\(X, Y\)，则可利用以下高斯投影正算公式进行计算： \[ \begin{aligned} x &= X_{B0} + \frac{1}{2}Nt m^2 + \frac{1}{24}(5-t^2+9\eta^2+4\eta^4)Nt m^4 \\ &\quad + \frac{1}{720}(61-58t^2+t^4)Nt m^6 \\ y &= Nm + \frac{1}{6}(1-t^2+\eta^2)Nm^3 \\ &\quad + \frac{1}{120}(5-18t^2+t^4+14\eta^2-58\eta^2t^2)Nm^5 \end{aligned} \] 这里，\(m = l\cos B\)，而\(l = L - L_0\)，\(\eta^2 = e'^2\cos^2 B\)，\(t = \tan B\)，\(c = a^2/b\)，\(N\)表示卯酉圈曲率半径\(N = a/W = c/V\)，其中\(V = 1 + e'^2\cos^2 B\)，\(W = 1 - e^2\sin^2 B\)。 ##### 2.3 高斯反算公式 已知高斯平面坐标\(X, Y\)，反算大地经纬度\(B, L\)的计算公式为： \[ \begin{aligned} B &= B_f - \frac{1}{2}(V^2t)\left(\frac{y}{N}\right)^2 + \frac{1}{34}(5+3t^2+\eta^2-9\eta^2t^2) \\ &\quad \times (Vt^2)\left(\frac{y}{N}\right)^4 - \frac{1}{720}(61+90t^2+45t^4)(V^2t)\left(\frac{y}{N}\right)^6 \\ l &= (L - L_0) = \frac{1}{2}Nm^2 - \frac{1}{24}(1-4t^2-3\eta^2)Nm^4 \\ &\quad + \frac{1}{720}(5-26t^2+16t^4+44\eta^2-58\eta^2t^2)Nm^6 \end{aligned} \] 这里同样需要注意到\(m = l\cos B\)，而\(l = L - L_0\)，\(\eta^2 = e'^2\cos^2 B\)，\(t = \tan B\)，\(V = 1 + e'^2\cos^2 B\)，\(W = 1 - e^2\sin^2 B\)。 #### 三、实用性和验证 本文给出的计算方法和公式简便实用，特别适合于计算机编程实现。为了验证这些公式的正确性，文中利用该公式计算了54椭球子午线弧长及底点纬度计算式中的各系数，并与天文大地网推算的相应系数进行了比较验证，结果显示两者之间的一致性良好，从而证明了该公式及其计算结果的准确性。 本文介绍的适用于不同椭球的高斯平面坐标正反算的实用算法不仅能够提高坐标转换的效率，还能保证转换结果的准确性，具有重要的理论意义和实际应用价值。

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大地测量计算工具集，作者李健，原为本科生专业基础课《大地测量学基础》的计算实习提供对算功能和编程示例而制作，目前已用于多个实际测量工程。 该软件共包含20余项常用大地测量专业计算功能，部分项目功能含多个功能子项。具体功能有：参考椭球几何与物理参数计算；高斯投影正反算（BL与xy）；高斯邻带换算；空间直角坐标与大地坐标的互换（BLH与XYZ）；空间直角坐标系与站心坐标系的互换；空间直角坐标与正交椭球面坐标系的互换；大地问题正反算；边长换算（地面实测边长换算至高斯平面、斜距换平距）；曲率改正数的计算；似大地水准面模型格式转换（格网文件的格式转换）；椭球（坐标系）转换（布尔莎模型）；七参数模型参数（布尔莎模型）求解；不同ITRF之间的坐标变换（ITRF2005到ITRF2000，ITRF2000到其它各种ITRF，ITRF到PZ90等）；不同ITRF之间的速度变换；点位坐标的参考历元变换；时间系统的转换（GPS时、格利高里历、儒略日等），图幅编号与图幅范围（支持新旧两种图幅编号方式，由点的坐标反求图幅编号，由图幅编号求图幅范围）；等等……

通过一个以上的控制点，计算四参数转换参数，并利用转换参数将其他测量点转换成不同的坐标系下的坐标！ 通过一个以上的控制点，计算四参数转换参数，并利用转换参数将其他测量点转换成不同的坐标系下的坐标！

自制的基于MFC、OpenGL平台的平面二维坐标图程序，支持拖动平移、滚轮缩放和窗口缩放等功能，支持大数据量绘图。程序在VC6.0下编译通过。

GPS的经纬度经过推导和计算转换为平面坐标，包含公式详细推导过程。

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