基于遗传算法的非支配排序算法（NSGA_II）是用于求解多目标规划问题的一种方法。 通过帕累托支配求解帕累托最优解可以有效得到多目标函数的求解结果。 为优化帕累托最优解，运用遗传算法对求解结果进行优化。 但同时遗传算法具有未成熟收敛、群体规模对性能影响大、结果受初始值影响较大等缺点，因此利用多种群遗传算法对求解结果进行进一步优化，运用移民算子联系各个种群，运用精华种群保存每代最优结果。 **运行程序请优先下载谢菲尔德大学的MATLAB遗传算法工具箱

如果对于所有 i=1...n 不存在 X 使得 Fi(X)<=Fi(X*) 且至少有一个严格的不等式，那么点 X* 被称为帕累托最优点。 这些点也称为非支配点、非劣点或有效点。

关于多目标优化问题MOP中帕累托解的求取方法介绍，内容来源于一篇中文的学位论文中的内容，希望对大家在多目标优化问题的求解上有一定的帮助。

在绘制目标的最小化时，查看目标之间是否存在折衷很有用。 一种方法是可视化每个目标函数组合的二维散点图，然后将调色板应用为第四个目标函数的函数，最后点的大小由第五个目标函数表示。

新的！！ 在以下位置完全重建了用于级别图的交互式工具： https://es.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/62224-interactive-tool-for-decision-making-in-multiobjective-optimization-with-level-diagrams 该工具箱为 Pareto Set 及其关联的 Front 绘制 Leveldiagrams，并允许一些基本的图形操作（根据偏好着色图、轴操作和点选择）以帮助决策。 有关 Leveldiagrams 和此工具箱中提供的一些示例的详细信息，请参见： [1] X. Blasco、JM Herrero、J. Sanchis、M. Martínez。 用于多目标优化决策的 n 维帕累托前沿的新图形可视化。 信息科学 178 (2008) 3908–392

计算给定样本的帕累托点并返回点的索引以及位置。

****************************************************** ****************************************************** ************** 重要提示：这个工具箱是作为我博士的一部分开发的（2014 年结束）。 我决定保留此版本用于比较目的，不会更新。 我邀请您检查此算法的新扩展版本，该版本将根据我们对该主题的研究进展，以新的机制和功能进行更新： https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/65145 ****************************************************** ****************************************************** *

此函数将索引返回到与帕累托最优设计集相对应的给定矩阵。 此函数的基础算法基于快速排序，并且类似地实现了n个设计（其中n_p是最优）的预期运行时间O（n lg n + n_p），且具有良好的前导系数。 它的实现在可能的情况下被向量化，并支持 <、> 或 min() 下定义的任何数据类型。

使用改进的快速排序查找多目标帕累托前沿 此函数返回给定多目标解空间的帕累托最优设计集的索引 此函数将索引返回到对应于帕累托最优设计集的给定矩阵。该函数的底层算法基于快速排序，并且对于具有有利的领先系数的 n 个设计（其中 n_p 是帕累托最优）同样实现了 O(n lg n + n_p) 的预期运行时间。它的实现尽可能矢量化，并支持在 <、> 或 min() 下定义的任何数据类型。

在多目标进化算法中，时间复杂度过高是普遍的问题，特别是三个目标函数以上时，解的等级分配占用了过多的运算时间。针对三目标问题，利用帕累托支配关系，对解的等级分配进行研究，发现经典的等级排序及分配方法存在一定的冗余操作，需对全部的解先排序后，才能再分配等级并选择下一代，造成部分不必要的运算。为减少该冗余，利用帕累托非支配关系结合差分进化，实现高效三目标进化算法。算法每次迭代对种群中最高等级的个体进行计算，在分配等级同时进行选择后代个体操作，当后代种群生成时便跳出计算，从而减少个体的计算数量，降低运算量；同时给出该方法的相关理论分析和证明过程。针对一系列三目标优化问题，将提出方法与著名排序方法NSGAⅡ及近年来优秀的ENS方法进行对比实验。仿真实验结果表明，提出方法在时间复杂度和收敛速度上优于经典方法，稍差于ENS方法。在标准测试函数DTLZ1-DTLZ6的性能上，提出方法近似于ENS方法，优于NSGAⅡ算法，从而验证了提出方法的有效性和正确性。