"整数矩阵和多项式矩阵求逆的复杂性" 整数矩阵和多项式矩阵求逆的复杂性是计算机科学和数学领域中的一个重要问题。在这篇论文中，作者介绍了一种新型的Las Vegas概率算法来计算非奇异整数矩阵的精确逆矩阵，该算法的期望运行时间为O(n^3(log A + log κ(A))),其中A是输入矩阵，κ(A)是矩阵的条件数。同时，作者也将这个算法扩展到多项式矩阵的情况，并证明了该算法的正确性和效率。 在整数矩阵的情况下，作者首先引入了矩阵的条件数κ(A)，然后使用Las Vegas概率算法计算矩阵的精确逆矩阵。该算法的期望运行时间为O(n^3(log A + log κ(A))),其中A是输入矩阵，κ(A)是矩阵的条件数。该算法的正确性和效率都是通过严格的数学证明来保证的。 在多项式矩阵的情况下，作者引入了多项式矩阵的概念，并证明了该算法的正确性和效率。作者证明了对于非奇异多项式矩阵，使用该算法可以在O(n^3d)时间内计算出矩阵的精确逆矩阵，其中d是多项式的最高次数。 该论文在整数矩阵和多项式矩阵求逆的复杂性方面取得了重要的进展，提供了一种高效和正确的算法来计算矩阵的精确逆矩阵。 知识点： 1. 整数矩阵的条件数κ(A)是矩阵的重要性质，它决定了矩阵的稳定性和计算的复杂性。 2. Las Vegas概率算法是一种高效的算法，可以用于计算矩阵的精确逆矩阵。 3. 多项式矩阵是矩阵的一种特殊形式，它的元素是多项式函数。 4. 多项式矩阵的求逆是计算机科学和数学领域中的一个重要问题。 5. O(n^3(log A + log κ(A)))是整数矩阵求逆的复杂度估计，其中A是输入矩阵，κ(A)是矩阵的条件数。 6. O(n^3d)是多项式矩阵求逆的复杂度估计，其中d是多项式的最高次数。 7. 在计算矩阵的精确逆矩阵时，需要考虑矩阵的条件数κ(A)和条件数的影响。 该论文在整数矩阵和多项式矩阵求逆的复杂性方面取得了重要的进展，提供了一种高效和正确的算法来计算矩阵的精确逆矩阵。

本书《科学与工程中的洞察力艺术：掌握复杂性》由Sanjoy Mahajan撰写，由麻省理工学院出版社出版。该书探讨了如何组织和处理复杂性问题，分别从组织复杂性和丢弃复杂性两个方面进行了深入探讨。本书提出了一系列实用的工具和方法，旨在帮助读者学会如何高效地解决科学和工程中的复杂问题。 在组织复杂性的方面，书中强调了“分而治之”和“抽象化”的重要性。分而治之是一种有效的策略，通过将大问题分解为小问题，分别解决，再将解决方案综合起来，以达到解决整体问题的目的。抽象化则是通过忽略一些不影响核心问题解决的细节，使问题更简化，更易于理解。这两种方法是处理复杂问题的基本手段，也是科学研究和工程实践中的常用技巧。 丢弃复杂性则分为两种途径：无信息丢失的简化和有信息丢失的简化。无信息丢失的简化方法通常包括对称性和守恒原理，这些原理在物理学等自然科学领域中具有广泛应用。通过利用对称性，可以在不丢失信息的前提下对问题进行简化处理。守恒原理则涉及保持某些量不变，从而简化问题的求解过程。 有信息丢失的简化方法更加大胆，涉及一些假设的引入和概率推理。在实际操作中，为了简化计算，我们常常需要引入一些合理的假设，这样在一定情况下可能会忽略掉一些信息。同时，概率推理在处理不确定性问题时尤为重要，尤其是在统计物理学和估计理论中，它能够帮助我们做出更加合理的判断。 书中还提到了其他几种简化复杂性的方法，如维度分析、合并同类项（lumping）、简单案例法和弹簧模型法。维度分析是一种通过减少问题的独立变量数量来简化问题的方法。合并同类项是指将一些相似的项或元素合并成一个更广泛、更具代表性的类别，从而减少问题的复杂度。简单案例法则是通过分析最简单或最典型的情况来寻找解决问题的线索。弹簧模型法则通常用在工程力学中，通过对理想化的弹簧模型进行分析，来理解复杂力学系统的行为。 Sanjoy Mahajan在书中还提出了一些具有启发性的思考方式和学习方法，以帮助读者培养解决复杂问题的能力。例如，他强调了进行快速估算的重要性，即“背面记事本上的价值观”，通过这种快速的心算方法，可以迅速把握问题的核心。此外，作者通过分享个人经历和向学生及老师致敬，强调了好奇心和持续学习的重要性。 整本书不仅介绍了具体的方法和技巧，还提供了一种如何思考和面对复杂问题的思维方式。Mahajan博士希望读者能够学习到如何不畏惧面对复杂性，而是能够勇敢地去攻击任何问题，并至少能够对问题的原因有一个基本的理解。这样的能力对于从事科学研究和工程实践的专业人士来说是十分重要的。 从计算机科学的角度来看，这些方法也具有实际应用价值。例如，在软件开发中，分而治之可以对应模块化和组件化的设计思想；在算法设计中，抽象化则可以体现为对问题的抽象建模；在系统优化时，合并同类项可以用于简化系统模型，便于分析和优化；而在面对不确定性时，概率推理则可以在容错设计和风险管理中发挥重要作用。 本书为我们提供了一系列处理复杂问题的工具和方法，这些方法在科学和工程领域有着广泛的应用，对于提高我们解决复杂问题的能力有着重要的指导作用。通过学习和应用这些方法，我们可以更好地掌握复杂性，不仅是在科学和工程领域，更是在日常的学习、工作和生活中。

NeoSCA是另一种书面英语样本的句法复杂性分析器。NeoSCA 是 Xiaofei Lu 的 L2 Syntactic Complexity Analyzer (L2SCA) 的重写版本，添加了对 Windows 的支持和更多的命令行选项。NeoSCA 对英文语料统计以下内容：9 种句法结构的频次。14 种句法复杂度指标的值

2.3 图灵机和计算复杂性理论 上一节的NP完全理论虽然直观，但是不严密。我们没有给出Cook定理的证明， 因为在证明这个定理之前需要给“问题”下一个严格定义，否则是没有办法说明什么 是“NP问题”，更别提证明任何一个NP问题都可以多项式归约到它了。此外，对“算 法”也需要进行严格证明，否则没有办法定义归约。如果说上一节是从感性上认识问题 复杂性和NP完全理论，那么从这一节开始正式介绍相关理论。 2.3.1 问题和语言 在深入讨论之前，需要先对“问题”做一个严格定义。抽象问题(abstract prob- lem) 是一个I和S的二元关系，其中I是实例(instance) 集合，S是解(solution) 集 合。NP完全理论只考虑判定问题(decision problem) ，即S={0, 1}。对于优化问题，

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我们使用最近提出的“复杂度=体积”和“复杂度=作用”对偶来研究爱因斯坦-麦克斯韦-狄拉通引力的全息复杂性。 我们考虑的模型具有基态，该基态通过所谓的超比例违规几何体在整体中表示。 我们计算了相应的黑洞解在非零温度下Wheeler-DeWitt贴片的作用增长，并发现，根据理论参数，相对于共形场理论，作用增长速率存在参数提高 结果。 我们将此行为与简单的张量网络模型进行匹配，该模型可以捕获违反超标度的方面。 我们还展示了使用冲击波几何形状在复杂性增长中的折返效应，并在度量在零表面不连续的情况下评论了动作计算的精妙之处。

我们研究非阿贝尔规范场对全息特性的影响，例如计算复杂度的演变。 为此，我们选择在AdS时空中定义的Maxwell-power-Yang-Mills理论。 然后，我们通过使用$$ complexity = action $$复杂度= action猜想来寻找YM字段的电荷对复杂度增长率的影响。 我们还研究了存在YM电荷的情况下，扰动在地平线附近的散布以及局部冲击波几何形状的复杂性增长率。 最后我们检查了劳埃德界的有效性机制。

复杂性思考 值得阅读的一本书 这里我写了几章的笔记：https://blog.csdn.net/qq_38672855/article/details/86502617

为了准确分析混沌伪随机序列的结构复杂性，采用谱熵算法对Logistic映射、Gaussian映射和TD-ERCS系统产生的混沌伪随机序列复杂度进行了分析。谱熵算法具有参数少，对序列长度N(唯一参数)和伪随机进制数K鲁棒性好的特点。采用窗口滑动法分析了混沌伪随机序列的复杂度演变特性，计算了离散混沌系统不同初值和不同系统参数条件下的复杂度。研究表明，谱熵算法能有效地分析混沌伪随机序列的结构复杂度；在这三个混沌系统中，TD-ERCS系统为广域高复杂度混沌系统，复杂度性能最好；不同窗口和不同初值条件下的混沌系统复杂度在较小范围内波动。为混沌序列在信息安全中的应用提供了理论和实验依据。

计算复杂性:现代方法，中文版PDF, 机械工业，2016，Sanjeev Arora，Boaz Barak