内容概要：这份试卷涵盖了算法设计与分析课程的核心知识点，主要包括五个大题。第一题要求设计并优化一个递归算法用于计算2^n的值，分析其时间复杂度，并提出改进措施以提高效率。第二题聚焦于无序数组中位数的查找，不仅需要阐述算法思想，还要具体演示查找过程及其键值比较次数。第三题涉及递归方程求解，要求给出解析解。第四题围绕堆排序展开，包括最大堆的构建、降序排序的具体步骤以及时间复杂度分析。第五题则探讨了最短路径问题和背包问题，前者要求设计算法计算任意两点间的最短路径并分析时间复杂度，后者要求针对给定实例设计三种贪心算法和自底向上的动态规划算法求解最优解，同时分析算法的时间复杂度。; 适合人群：计算机科学相关专业的大二及以上学生，尤其是正在学习或复习算法设计与分析课程的学生。; 使用场景及目标：①帮助学生巩固课堂上学到的理论知识，如递归、排序、贪心算法、动态规划等；②通过实际题目练习，提高解决复杂问题的能力；③为准备期末考试或其他相关考试提供参考和练习材料。; 阅读建议：由于试卷题目较为抽象且涉及较多数学推导，建议在解答前先复习相关概念和公式，再尝试独立完成每道题目。可以将此试卷作为阶段性测试工具，在学习完相应章节后进行自我检测。

快速排序、归并排序、堆排序 并比较排序时间 数据结构与算法

该资源是一个入门级别的C++算法练习，旨在帮助读者学习和理解堆排序算法。文档中包含了堆排序的基本原理和实现方法，并提供了详细的代码示例和解析。 通过学习和完成这个练习，读者将能够掌握堆排序算法的思想和实现过程，并了解其在排序算法中的应用。此外，文档还提供了练习题和答案，帮助读者巩固所学知识并检查自己的理解。 无论您是C++编程的初学者还是有一定经验的开发人员，该资源都将为您提供宝贵的学习资料和实践机会。我们相信，通过学习和实践堆排序算法，您将能够提升自己的C++编程技能，并在实际的排序问题中应用这一算法。

我简单的绘制了一下排序算法的分类，蓝色字体的排序算法是我们用python3实现的，也是比较常用的排序算法。 Python3常用排序算法 1、Python3冒泡排序——交换类排序 冒泡排序（Bubble Sort）也是一种简单直观的排序算法。 它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。 走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢”浮”到数列的顶端。 作为最简单的排序算法之一，冒泡排序给我的感觉就像Abandon在单词书里出现的感觉一样，每次都在第一页第一位，所以最熟悉。

C++实现堆排序

使用数组实现堆，以及堆排序。

本问题要实现直接插入、冒泡、快速、简单选择、归并、堆排序六种排序算法的简单运用及比较，分析他们的稳定性及在不同规模下的复杂度，了解在什么情况下使用什么排序算法比较合适；待排序的元素好吗关键字为整数，其中的数据要用伪随机产生程序产生，至少用5组不同的输入数据作比较，要使用各种算法对其进行排序，记录排序时间、比较次数、交换次数，再汇总比较；演示程序以人机对话的形式进行，每次测试完毕显示各种比较指标值的列表，以便比较各种排序的优劣；程序还可以考虑几组数据的典型性，如：正序、逆序和不同程度的乱序，注意采用分块调试的办法。

直接插入排序、希尔排序、起泡排序、快速排序、简单选择排序、堆排序、二路归并排序的C++语言实现，亲测可行，二路归并排序未得到预期结果，望指正。

算法思想简单描述： 堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。 堆的定义如下：具有n个元素的序列（h1,h2,…,hn),当且仅当满足（hi>=h2i,hi>=2i+1）或（hi<=h2i,hi<=2i+1）(i=1,2,…,n/2)时称之为堆。在这里只讨论满足前者条件的堆。 由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最大项。完全二叉树可以很直观地表示堆的结构。堆顶为根，其它为左子树、右子树。 初始时把要排序的数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树，调整它们的存储顺序，使之成为一个堆，这时堆的根节点的数最大。然后将根节点与堆的最后一个节点交换。然后对前面(n-1)个数重新调整使之

堆排序的时间复杂度分析： 1. 对深度为 k 的堆，“筛选”所需进行的关键字 比较的次数至多为2(k-1)； 3. 调整“堆顶” n-1 次，总共进行的关键 字比较的次数不超过 2 (log2(n-1)+ log2(n-2)+ …+log22) < 2n(log2n) 因此，堆排序的时间复杂度为O(nlogn)。 2. 对 n 个关键字，建成深度为h(=log2n+1)的堆， 所需进行的关键字比较的次数至多 4n；