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图 13.11 平行多面体的体积 §13.4.1 线性变换 p1q 平移变换. 设 v0 P Rn 为固定的向量, 考虑线性变换 ϕ : Rn Ñ Rn, ϕpxq “ x ` v0. 根据矩形体积的平移不变性容易知道, 如果 A Ă Rn 可求体积, 则 ϕpAq 也 是可求体积的, 并且体积不变, 这可称为体积的平移不变性. p2q 伸缩变换. 设 λi P R p1 ď i ď nq 考虑线性映射 ϕ : Rn Ñ Rn: ϕpx1, x2, ¨ ¨ ¨ , xnq “ pλ1x1, λ2x2, ¨ ¨ ¨ , λnxnq, px1, x2, ¨ ¨ ¨ , xnq P Rn. 矩形 I “ ra1, b1s ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ ran, bns 在 ϕ 下的像仍为矩形 (可以退化), 其体积为 vpϕpIqq “ |λ1| ¨ ¨ ¨ |λn|vpIq “ | detpϕq|vpIq. 将矩形 I 换成一般的可求体积的图形, 上述公式仍然成立, 这可从下面的覆盖引 理看出. 引理 13.4.1 (覆盖引理之一). 设 Ω 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε ą 0, 存在有限个矩形 tIiu 与 tJju, 使得 ď i Ii Ă Ω, ÿ i vpIiq ą vpΩq ´ ε; ď j Jj Ą Ω, ÿ j vpJjq ă vpΩq ` ε, 其中 tIiu 的内部互不相交. 证明. 取包含 Ω 的矩形 I, 由体积的定义, 有 ż I χΩ “ vpΩq, 因此, 任给 ε ą 0, 存在 I 的分割 π “ tIiju, 使得 | ÿ ij χΩpξijqvpIijq ´ vpΩq| ă ε, @ ξij P Iij .

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