Sortino 比率衡量投资资产、投资组合或策略的风险调整回报。 它是对夏普比率的修改，但只惩罚那些低于用户指定目标的回报。 Sortino 比率类似于 Sharpe 比率，但它使用分母的下行偏差而不是标准偏差，标准偏差的使用不区分上行和下行波动率。

研究含比例型手续费的离散时间投资组合优化问题. 基于马尔可夫决策过程模型和性能灵敏度分析方法, 推导两个不同投资策略之间的资产长期平均增值率的差分公式, 利用差分公式的结构特点, 证明了最优性方程, 并设计出可在线应用的策略迭代算法. 仿真实例验证了所提出算法的有效性.

matlab马科维茨代码基于二元Markowitz的投资组合选择 Markowitz平均方差投资组合选择被公认为一种非常重要的投资策略。 基于Markowitz的二元投资组合选择（BMPS）问题是Markowitz引入的原始均值-方差投资组合选择问题的二进制版本。 此外，已经对BMPS问题设置了基数限制，以防止过度多样化。 注意，BMPS是整数线性规划问题。 该软件包的目的是通过使用基于V型传递函数的二进制Beetle Antennae Search（VSBAS）在线解决BMPS问题。 基于现有文献和我们的理解，目前已实现了文献中的几种算法。 更准确地说，使用的主要文章如下： SDMourtas，VNKatsikis，“ V形BAS：大型投资组合选择问题上的应用”（已提交） MA Medvedeva，VN Katsikis，SD Mourtas，TE Simos，“通过二进制甲虫天线搜索算法对时变背包问题进行了随机化处理：着重于投资组合保险中的应用”，Math Meth Appl Sci，第1-11页，2020年。 K. Deb，工程设计优化：算法和示例。 PHI，第二版，2013年7

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投资组合优化方法不可避免地依赖于市场和经济的多元建模。 在本文中，我们解决了与这些复杂系统建模相关的三个错误来源： 1. 过度简化假设； 2. 参数抽样误差导致的不确定性； 3. 这些系统的内在非平稳性。 对于第 1 点的问题，我们提出了 L0 范数稀疏椭圆建模，并表明稀疏化是有效的。 点 2. 和 3. 的影响通过研究模型在样本内和样本外的似然性对不同长度的训练集估计的参数进行量化。 我们表明，当训练集中包含两到三年的日常观察时，具有更大样本外可能性的模型可以产生更好的投资组合。 对于较大的训练集，我们发现投资组合性能恶化并与模型的可能性脱节，突出了非平稳性的作用。 我们通过研究表明系统随时间显着变化的单个观察的样本外可能性来进一步研究这种现象。 从长远来看，较大的估计窗口会导致稳定的可能性，但以短期内较低的可能性为代价：金融的“最佳”拟合需要根据持有期来定义。 最后，我们表明稀疏模型优于完整模型，因为它们提供更高的样本外似然性、更低的实际投资组合波动性和提高投资组合的稳定性，避免了均值方差优化的典型陷阱。

给定任何一组外生提供的有效投资组合，我们开发了一种动态规划算法，该算法构建了一个最佳投资组合交易策略，以最大化在指定时间范围结束时实现投资者指定目标财富的可能性。 我们的算法还可以适应任何规模的定期注入或提取，而不会降低运行时性能。 我们探讨了终端财富分布如何对投资者可用的投资组合有效边界部分的限制敏感。 因为我们算法的最优策略是在有效边界上，允许取决于投资者的财富，并允许取决于投资者的个人目标和规格，我们表明它在实现投资者目标方面明显优于目标日期基金的表现。 这些基于最佳目标的财富管理策略对于顾问驱动或机器人驱动的现代金融科技产品非常有用。

利用动态规划方法解决带交易费用的均差模型，给出了有交易费用均差模型的解析解，所得结果应用方便，对投资者的实际投资交易有一定的指导意义。

针对结束时间具有不确定性的投资问题,建立以区间风险值(PVaR)度量市场风险的收益最大化投资组合选择模型.PVaR计算的复杂性使得模型难以运用一般优化方法求解,因此提出并证明可以通过求解等效的混合整数规划模型来得到原模型的最优解.利用实际股价数据进行数值实验分析,结果表明,求解混合整数规划模型针对小规模短期投资问题可以快速给出最优投资决策方案.

在本文中，我们展示了如何将长短期记忆 (LSTM) 类神经网络用于股票选择和投资组合优化。 我们使用 LSTM 网络来预测股票运动的方向和股票价格代理度量，并将这些用于股票选择和 Markowitz 均值方差投资组合优化框架。 使用印度 SENSEX 股票数据构建了四种类型的 LSTM 模型——个体模型和集合模型，每种模型都使用批量和增量学习方法进行训练。 我们在投资组合优化阶段利用入围股票中股票运动方向分类的准确性。 在投资组合优化阶段，除了标准的 Markowitz 公式之外，还构建了多样化和卖空的 Markowitz 公式。 我们还建议使用 LSTM 分类精度的补充作为风险度量，代替 Markowitz 框架内的协方差矩阵。 LSTM 构建和投资组合优化公式类型的上述每种组合的结果都针对 SENSEX 和标准最优 Markowitz 投资组合进行了基准测试，没有股票选择。 我们还推导出具有股票价格预测因子比平均股票价格更准确的 Markowitz 公式优于标准 Markowitz 公式的条件。

本文研究了具有交易成本的高阶矩投资组合优化模型。 该模型以峰度为目标函数，以偏度，方差，均值和交易成本为约束条件。 由于优化问题是高阶且非凸的，因此给模型的求解带来了一些困难。 因此，本文利用矩矩阵理论将优化问题转化为半定矩阵优化问题，并加以解决。 通过对中国证券市场中四种风险资产的研究，发现交易成本是投资组合模型研究的重要组成部分。 此外，敏感性分析表明，峰度和偏度与均值和方差不变呈正相关。 当均值和偏度恒定时，峰度和方差正相关。 当均值和偏度保持不变时，四阶标准中心矩和方差呈负相关。