10.4 从历史数据估计的波动率
为根据历史数据估计股票价格的波动率,观察股票价格的时间间隔通常
是固定的(例如每天、每周和每月)。
定义:
n+1:观察次数
Si :在第 i个时间间隔未的股票价格
τ:以年为单位表示的时间间隔的长度
令:
µ i
i
i
S
S
=
−
ln
1
其中,i=1,2.⋯,n
因为 S S e ui i
u
i
i= − 1 , 为第 i 个时间间隔后的连续复利收益(并不是以年
为单位)。的标准差 s的通常估计值为:
s
n
u ui
i
n
=
−
−
=
∑
1
1
2
1
( )
或
( )s n
u
n n
ui i
i
n
i
n
=
−
−
−
==
∑∑
1
1
1
1
2
1
2
1
其中 为 的均值。u iu
由方程(10.11)可知,ui 的标准差为σ τ 。因此变量 s 是σ τ 的估计
值。σ本身可被估计为 s* ,其中:
s
s
* =
τ
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