代数学第三章部分习题答案
1. 证明在环 R 内，若 1− ab 可逆，则 1− ba 可逆.
证明:
a(1− ba) = a− aba = (1− ab)a
a = (1− ab)−1a(1− ba)
1− ba = 1− b[(1− ab)−1a(1− ba)] = 1− b(1− ab)−1a(1− ba)
(1− ba) + b(1− ab)−1a(1− ba) = 1
[1 + b(1− ab)−1a](1− ba) = 1
所以 (1− ba) 可逆，且 (1− ba)−1 = 1 + b(1− ab)−1a.
2. 设在环 R 中元素 u 有右逆，证明下列三条等价：
(1)u 有多于一个的右逆；
(2)u 是一个左零因子；
(3)u 不是单位.
证明:
(1)⇒(2):
由 u 有右逆知 u ̸= 0, 则 u1, u2 是 u 的右逆，u1 ̸= u2，则
u(u1 − u2) = uu1 − uu2 = 1− 1 = 0
而 u1 − u2 ̸= 0，故 u 是 u1 − u2 的左零因子.
(2)⇒(3):
假设 u 为单位，则 u 可逆. 对 ∀u3 ∈ R, u3 ̸= 0.
于是
u3 = 1 · u3 = u−1uu3 = u−1(uu3) ̸= 0
即 uu3 ̸= 0，故 u 不是左零因子，矛盾！因此 u 不是单位.
(3)⇒(1):
假设 u 只有一个右逆 u4，对 ∀r ∈ R, r ̸= u4, 均有
ur ̸= 1 = uu4
则 u(r − u4) ̸= 0. 由 r 的任意性知 u 不是左零因子. 而
u(1− u4u) = u− uu4u = u− u = 0
因此 1 − u4u = 0，即 u4u = 1，所以 u4 是 u 的左逆，于是 u 是单位，矛盾！
所以 u 有多于一个的右逆.
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2021-10-10 17:52:20
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计算机网络学习的核心内容就是网络协议的学习。网络协议是为计算机网络中进行数据交换而建立的规则、标准或者说是约定的集合。因为不同用户的数据终端可能采取的字符集是不同的，两者需要进行通信，必须要在一定的标准上进行。一个很形象地比喻就是我们的语言，我们大天朝地广人多，地方性语言也非常丰富，而且方言之间差距巨大。A地区的方言可能B地区的人根本无法接受，所以我们要为全国人名进行沟通建立一个语言标准，这就是我们的普通话的作用。同样，放眼全球，我们与外国友人沟通的标准语言是英语，所以我们才要苦逼的学习英语。
2021-09-07 15:14:59
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