6.1 LMI区域 6.1.1 LMI区域的描述 这一节将给出 LMI区域的定义和一些 LMI区域的例子。 定义 6.1.1 对复平面中的区域 D，如果存在一个对称矩阵 mm×∈RL 和矩阵 mm×∈RM ， 使得 D { }0C <++∈= T: MML sss (6.1.1) 则称 D是一个线性矩阵不等式区域（简记为 LMI区域）。矩阵值函数 T)( MML sszf D ++= (6.1.2) 称为 LMI区域 D的特征函数。 特征函数 )(zf D 的取值是 mm× 维的埃尔米特矩阵（Hermitian matrix）， 0<)(zf D 表 示矩阵 )(zf D 是负定的。 由定义 6.1.1 可以看到复平面上的一个 LMI 区域就是某个以 s和 s为变量的线性矩阵 不等式，或者以 )Re(sx = 和 )Im(sy = 为变量的线性矩阵不等式的可行域。根据引理 2.1.1，这样的 LMI区域是凸的。进而，对任意的 Ds∈ ， 0<= )()( sfsf DD ，故 Ds ∈ 。因 此，LMI区域关于复平面上的实轴是对称的。 以下列举一些典型的 LMI区域。 例 6.1.1 左半开复平面 −C 是一个 LMI区域，相应的特征函数是 ( )f s s s= +-C (6.1.3) 更一般地，如图 6.2中阴影部分所示的半平面 { }αα −<∈= )Re(: ssD C 也是一个 LMI区 域，它的特征函数是：

线性矩阵不等式(LMI)的MATLAB求解方法，比较经典，可以拿来学习参考

介绍LMI工具箱中mincx函数的使用方法，并给出了一个实例

主要针对于线性矩阵不等式的求解，有很详细的说明，每个参数如何使用以及具体用法

连续时间TS模糊系统局部非二次H∞滤波器设计的LMI解决方案

3D激光传感器的LMI的SDK

3D激光LMI的环境变量配置步骤及说明

LMI中文操作手册，详细说明如何连接、配置和使用Gocator算法工具的应用，模拟器工具及参数配置的应用，开发架构及功能强大的SDK

表 6.1 参数的取值及对应的设计目标 obj Corresponding Design [0 0 0 0] [0 0 1 0] [0 0 0 1] [g 0 0 1] [0 h 1 0] [0 0 a b] pole placement only H∞-optimal design H2-optimal design minimize 22 T subject to gT < ∞∞ minimize ∞∞ T subject to hT < 22 minimize 2 22 2 TbTa + ∞∞ region确定了所考虑的 LMI区域，它的默认区域是左半开复平面。可以使用命令 lmireg 来产生所要的区域 region，如果知道刻画所考虑的 LMI 区域的矩阵 L 和 M，则也可以通过输入 region = [L, M]来直接确定 region； tol是描述精度的指标，默认即可。 在输出中，gopt和 h2opt分别是闭环系统的 H∞ 和 H2性能指标，K是所求的状态反馈 增益矩阵，Pcl是从w到 TT2 T 1 ][ zz 的闭环传递函数，X是 Lyapunov矩阵。 在 LMI工具箱中提供了一个示例来说明本节提出的方法。只要在 MATLAB命令窗口 中输入 sateldem就可以浏览这个例子。 6.3 鲁棒 D-稳定性分析 前面讨论了对一个给定的 LMI 区域 D，线性时不变系统的 D-稳定性分析和状态反馈 D-稳定化控制器的设计问题。由于实际系统中不可避免地存在不确定性，因此有必要研究 不确定系统的鲁棒 D-稳定性分析和综合问题。 考虑不确定线性系统 )(])([ )()()( 1 t tt xCDIBA xAx ∆∆−+= ∆= − . (6.3.1) 其中： nt R∈)(x 是系统的状态向量， nn×∈RA 是系统的名义状态矩阵，即忽略了参数不确 定性后的系统状态矩阵，∆是不确定矩阵，反映了系统模型中的参数摄动和不确定性。一 般我们并不知道矩阵∆的精确取值，但知道其在某个已知的范围中取值或变化。对所有在 这个范围中的值，我们称其是不确定矩阵∆的允许值。 考虑由特征函数 T++=)( MML sssf D (6.3.2) 刻画的 LMI 区域 D，其中 pp×∈RML, ，且 L是对称的。假定名义状态矩阵 A是 D-稳定 的，即 A的所有特征值均在区域 D 中，则本节关心的问题是：对给定的不确定性允许变 化范围，寻找一个检验条件来判别对所有允许的不确定矩阵 ∆， )(∆A 的所有特征值是否

关于“在LMI条件下为参数不确定性的线性系统设计基于观测器的控制器[Automatica 49（2013）3700-3704]”