８．６．３　基本的ＧＭＤＨ方法 考虑ｎ个输入变量为ｘ１，…，ｘｎ（也可以是同一输入的不同时间的值），输出变量为ｙ，描述 输入、输出关系的“完全实现”是 ｙ＝ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ） 基本的ＧＭＤＨ方法一般取二阶多项式作为“部分实现”Ｇ，即取 Ｇ（ｘｉ，ｘｊ）＝ａ０＋ａ１ｘｉ＋ａ２ｘｊ＋ａ３ｘ２ｉ ＋ａ４ｘ２ｊ＋ａ５ｘｉｘｊ （８．４１） 对所有产生的中间变量，按平方误差准则进行选择。误差低于某一阈值的留下，淘汰掉其他 的，对留下的变量ｙｉ，再产生第二层中间变量 ｚｊ ＝Ｇ（ｙｉ，ｙｋ） 再从ｚｊ 中淘汰掉一部分变量，用选出的变量继续生成第三层的中间变量。这样继续进行，直 到只剩下一个变量或者到某个事先规定的阶次时停止，得到的最后模型也就是“完全实现”。 现在用一个很简单的例子来说明上述过程。设第一层有４个输入ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４，由变量 组合（ｘ１，ｘ２），（ｘ１，ｘ３），（ｘ１，ｘ４），（ｘ２，ｘ３），（ｘ２，ｘ４），（ｘ３，ｘ４）组成了６个部分实现，它们的输出 就是６个部分实现ｙ１，…，ｙ６。经过选择，如果只有３个，比如ｙ１，ｙ２，ｙ３ 保留，则以ｙ１，ｙ２，ｙ３ 作为下一层的输入可组成３个部分实现（ｙ１，ｙ２），（ｙ１，ｙ３），（ｙ２，ｙ３），它们的输出分别是ｚ１，ｚ２， ｚ３，都是ｘｉ 的４阶多项式，再继续选下去，直到满足要求为止。 从上面的过程可以看出，不管完全实现如何复杂，但每个部分实现只需估计６个参数，计 算非常简单；而如果直接拟合一个４个变量的４阶多项式，就需要同时估计７０个参数，或者说 要求一个７０×７０矩阵的逆，这个计算量是相当可观的。 ＧＭＤＨ算法的示意图如图８．５所示。图中，Ｇ是部分多项式；ｙｉｊ是由部分多项式模型得 到的输出；ｘｉｊ是中间变量。 ·９１１·

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５．３．３　控制系统设计中的计算机仿真研究 这里要解决的问题是通过仿真，研究给出理想的设计方案。它的基本思想是：首先用辨识 或其他方法得到的数学模型来表示实际装置，这个模型可以是状态方程，也可以是差分方程及 其他形式，将通过这个模型计算得到的输出作为实际过程的输出。这样我们就可以设计各种 输入（控制器），加上各种约束，通过模型计算得到系统的响应。由此来分析控制系统的性能， 调整、修正设计。直到最后得到一个满意的设计方案为止。 从上面的简单介绍不难看出，仿真研究是一种很有价值的手段。因为其费用少、周期短、 见效快，可以在短时间内完成大量的工作，因此这种研究受到了普遍的重视。值得指出的是， 当今计算机仿真已发展成为一门独立的、活跃的、具有广泛应用领域的学科，是认识客观世界 的一种重要手段，在军事、生物、社会、经济等许多领域的研究和应用中起着重要作用，而且在 当今的科学研究中越来越显示出其重要地位。 习　　题 １．证明引理５．１。 ２．用如下模型产生仿真数据（２００个） ｙ（ｋ）＝１．５ｙ（ｋ－１）－０．７ｙ（ｋ－２）＋ｕ（ｋ－１）＋０．５ｕ（ｋ－２）＋ｅ（ｋ） 其中ｅ（ｋ）为正态白噪声。分别用Ｆ检验、ＡＩＣ准则与阶和参数同时辨识的递推算法在计 算机上实现模型的辨识。 ３．将阶和参数同时辨识递推算法中的第（６）步改为用Ｆ检验判断。 ·３６·

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