Introduction to Linear Algebra, 5th Edition，英文版本。提供大家学习参考。

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.5节 1 若方阵 A 有逆，则既有 A−1A = I 又有 AA−1 = I。 2 检验可逆性的算法是消元法：A 必须有 n 个（非零）主元。 3 可逆性的代数检验是 A 的行列式：det A 必须非零。 4 可逆性的方程检验为 Ax = 0：x = 0 必须是唯一解。 5 若 A 和 B 都可逆，则 AB 也可逆： (AB)−1 = B−1A−1。 6 AA−1 = I 是关于 A−1 的 n 个列的 n 个方程。高斯—若尔当将 [A I] 消元为 [I A−1]。 7 本书最后一页提供了方阵 A 可逆的 14 个等价条件。 假设 A 是个方阵。我们寻找一个相同大小的“逆矩阵”A−1，使得 A−1 乘以 A 等于 I。无论 A 做 什么，A−1 总是反着来。它们的积是单位矩阵——即对向量什么都不做，因此 A−1Ax = x。然而 A−1 可能不存在。 一个矩阵的主要作用是与一个向量 x 相乘。将 Ax = b 乘上 A−1 得出 A−1Ax = A−1b。这就是 x = A−1b。乘

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.4节 我将从基本事实开始。矩阵是一个数字或“元素”的矩形数组。当 A 是 m 行 n 列时，它是一个“m×n” 矩阵。若矩阵形状相同，则它们可以相加。它们可以乘上任意常数 c。以下是关于 3 × 2 矩阵的 A + B 与 2A 的例子：  1 2 3 4 0 0  +  2 2 4 4 9 9  与 2  1 2 3 4 0 0  =  2 4 6 8 0 0 。 矩阵加法完全就像向量加法一样——每次算一个元素。我们甚至可将列向量视为一个仅有一列的矩阵 （如此 n = 1）。矩阵 −A 来源于乘以 c = −1（反转所有符号）。A 加上 −A 得零矩阵，此时所有元素为 0。所有这些都只是常识。 行 i、列 j 的元素被称为 aij 或 A(i, j)。沿第一行的 n 个元素为 a11, a12, . . . , a1n。矩阵的左下角 元素是 am1 且右下角元素是 amn。行号 i 从 1 到 m。列号从 j 从 1 到

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.3节 本节给出了矩阵乘法的第一个例子。自然地，我们从包含许多 0 的矩阵开始。我们的目标是理解 矩阵的所作所为。E 作用于一个向量 b 或一个矩阵 A 来产生一个新向量 Eb 或一个新矩阵 EA。 我们的第一个例子将是“消元矩阵”。它们执行消元步骤。第 j 个方程乘以 lij 然后从第 i 个方程中 减去它。（这从方程 i 中消去 xj。）我们需要许多这样的简单矩阵 Eij，它针对主对角线下每个要消去的 非零元素。 幸运的是我们不会在后面的章节见到所有这些矩阵。它们是开始接触时的好例子，但它们太多了。 它们可以组合成一个一次做所有步骤的总体矩阵 E。最简洁的方式是将它们的逆 (Eij )−1 组合成一个 总体矩阵 L = E−1。以下是下一页的打算。 1. 弄清每一个步骤怎么就是一次矩阵乘法的？ 2. 将所有这些步骤 Eij 整合成一个消元矩阵 E。 3. 弄清每个 Eij 是如何由它的逆矩阵 Eij −1 逆转的？ 4. 将所有这些逆 Eij −1（按正确顺序）整合成

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.2节 本章阐述一个解线性方程的系统方法。该方法称为“消元法”，你可马上在我们的 2 × 2 例子中见到 它。在消元之前，x 和 y 在两个方程中均有出现。消元之后，第一个未知数 x 从第二个方程 8y = 8 中 消失了： 之前 x − 2y = 1 3x + 2y = 11 之后 x − 2y = 1 8y = 8 （方程 1 乘以 3） （减去以消去 3x） 新方程 8y = 8 立马得出 y = 1。将 y = 1 带回到第一个方程中留下 x − 2 = 1。因此 x = 3，求解 (x, y) = (3, 1) 就完成了。 消元法产生了一个上三角方程组——这是目标。非零系数 1, −2, 8 来自一个三角形。这个方程组从 底向上求解——首先 y = 1 然后 x = 3。这个快速过程被称作回代。它用于任何大小的上三角方程组， 经过消元得出一个三角形。重点：原先的方程具有相同的解 x = 3 与 y = 1。图 2.5 揭示了每个方程组都是一对直线，在

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 2.1节 线性代数的核心问题是求解方程组。这些方程都是线性的，即未知数仅与数相乘——我们绝不会 遇见 x 乘以 y。我们的第一个线性方程组较小。接下来你来看看它引申出多远： 两个方程 两个未知数 x − 2y = 1 3x + 2y = 11 (1) 我们一次从一个行开始。第一个方程 x − 2y = 1 得出了 xy 平面的一条直线。由于点 x = 1, y = 0 解 出该方程，因此它在这条直线上。因为 3 − 2 = 1，所以点 x = 3, y = 1 也在这条直线上。若我们选择 x = 101，那我们求出 y = 50。 这条特定直线的斜率是 12，是因为当 x 变化 2 时 y 增加 1。斜率在微积分中很重要，然而这是线 性代数！ 图 2.1 将展示第一条直线 x − 2y = 1。此“行图”中的第二条直线来自第二个方程 3x + 2y = 11。你 不能错过两条线的交点 x = 3, y = 1。点 (3, 1) 位于两条线上并且解出两个方程。

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.3节 另一个视角改变至关重要。到目前为止，数 x 1 , x 2 , x 3 已知。右手边的 b 未知。我们通过将 A 与 x 相 乘来求出差分向量。现在我们设想 b 为已知然后我们找 x。 旧问题：计算线性组合 x 1 u + x 2 v + x 3 w 来求 b。 新问题：u, v, w 的哪种组合产生一个特定向量 b？ 这是逆问题——求能得出期望输出 b = Ax 的输入 x。你以前见过这个问题，它作为一个关于 x 1 , x 2 , x 3 的线性方程组。方程右手边是 b 1 , b 2 , b 3 。我现在要解方程组 Ax = b 来求 x 1 , x 2 , x 3

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.2节 第一节放弃了讲向量相乘。现在我们继续来定义 v 与 w 的“点积” 。这个乘法包含单独的积 v 1 w 1 和 v 2 w 2 ，但它并不止于此。这两个数加起来得出一个数 v · w。 以下是几何部分 (向量长度及它们夹角的余弦)。 v = (v 1 , v 2 ) 与 w = (w 1 , w 2 ) 的点积或者说内积是数 v · w： v · w = v 1 w 1 + v 2 w 2 . (1) 例 1 向量 v = (4, 2) 与 w = (−1, 2) 点积为零： [ ] [ ] 点积为 0 4 −1 · = −4 + 4 = 0。 垂直向量 2 2 在数学中，0 总是一个特别的数。对于点积，它意味着这两个向量是垂直的。它们的夹角是 90 ◦ 。当我 们在图 1.1 中画出它们时，我们见到了一个矩形（不仅仅是任一平行四边形）。垂直向量最清晰的例子 是沿 x 轴的 i = (1, 0) 与沿 y 轴向上的 j = (0, 1)。再一次地，点积为 i · j = 0 + 0

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 1.1节 线性组合在这个学科中非常重要！有时我们想要一个特定的组合，具体选择 c = 2 和 d = 1 来产 生 cv + dw = (4, 5)。其它时候我们想要 v 与 u 的所有组合（来自所有的 c 与 d）。 向量 cv 沿一条直线放置。当 w 不在那条直线上时，组合 cv + dw 充满整个二维平面。从四维空 间中的 4 个向量 u, v, w, z 开始，它们的组合 cu + dv + ew + fz 可能充满整个空间——但并不总是 这样。向量和它们的组合可能位于一个平面上或一条直线上。 第 1 章解释了这些中心思想，一切都建立在这些思想上。我们从能够合理绘制的二维向量与三维 向量开始。然后我们移入更高的维度。线性代数真正令人印象深刻的特点是如何流畅地将这一步引入 n 维空间。即使不可能画出十维的向量，你脑海中的画面也会保持是正确的。 这是本书将要通往的地方（进入 n 维空间）。第一步是 1.1 节和 1.2 节的运算。然后是在 1.3 节概 述了 3 个基本思想。

中文翻译Introduction to Linear Algebra, 5th Edition 8.3节 1 使用新输入基 Bin 与新输出基 Bout，每个矩阵 A 变成 B −1 out ABin。 2 Bin = Bout =“A 的广义特征向量”得出若尔当型 J = B−1AB。 3 傅里叶矩阵 F = Bin = Bout 将每个循环矩阵对角化（利用 FFT）。 4 正弦与余弦，勒让德与切比雪夫多项式：这些都是函数空间很好的基。 这是本书重要的一节。我担心大多数读者会跳过他——或读不到这里。前几章通过解释基底的概念做 了铺垫。第 6 章介绍了特征向量 x 以及第 7 章找出了奇异向量 v 与 u。这两个是赢家，但其它许多选 择是很有价值的。 首先是 8.2 节的纯代数，然后是优良基。输入基向量将是 Bin 的列。输出基向量将是 Bout 的列。 Bin 和 Bout 总是可逆的——基向量均无关！ 纯代数 若 A 是变换 T 在标准基下的矩阵，则 B−1 out ABin是在新基下的矩阵。 (1) 标准基向量为单位矩阵的列：Bin = In×n 与 Bout = Im×m。现在