深度学习数值计算之Hessian矩阵与牛顿法

用C#编写的进行拉格朗日插值与牛顿插值的工具类，可用于简单数据处理。

对于一个多元函数 用牛顿法求其极小值的迭代格式为 其中 为函数 的梯度向量， 为函数 的Hesse（Hessian）矩阵。 上述牛顿法不是全局收敛的。为此可以引入阻尼牛顿法（又称带步长的牛顿法）。 我们知道，求极值的一般迭代格式为 其中 为搜索步长， 为搜索方向（注意所有的迭代格式都是先计算搜索方向，再计算搜索步长，如同瞎子下山一样，先找到哪个方向可行下降，再决定下几步）。 取下降方向 即得阻尼牛顿法，只不过搜索步长 不确定，需要用线性搜索技术确定一个较优的值，比如精确线性搜索或者Goldstein搜索、Wolfe搜索等。特别地，当 一直取为常数1时，就是普通的牛顿法。

比较全数值分析编程汇总，内容包括： 线性方程组的直接法：Gauss消去法与矩阵三角分解法（Doolittle分解法相比Crout分解法更常用）及其选择列主元的改进方法、Doolittle分解法的延伸（实对称正定矩阵利用Cholesky分解得到的平方根法、三对角矩阵作为线性方程组系数矩阵的追赶法） 线性方程组的迭代法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法（利用前者每次迭代已得到的最新分量加速）、逐次超松弛（SOR，Successive Over-Relaxation）方法 函数拟合的插值法：拉格朗日（Lagrange）插值法与牛顿（Newton）插值法。 函数逼近方法：数值逼近中引入了函数范数和函数内积的概念。前者用来度量逼近函数与原函数在一个区间内的整体误差，后者广泛用于各种数值逼近方法的计算过程中。函数的∞-范数对应最佳一致逼近；函数的2-范数（Euclid-范数）对应最佳平方逼近。 数值积分算法与数值微分。 非线性方程及方程组的数值方法。 矩阵特征值的数值解法：乘幂法与反幂法。 常微分方程的数值解法：欧拉（Euler）方法，龙格-库塔法。

潮流计算是电力系统中最基本，应用最广泛的一种计算，是电力系统稳定计算和故障分析的基础。这个代码通过matlab实现了用极坐标表示的牛顿法和P-Q分解法进行潮流计算，使用IEEE14节点系统进行测试，计算结果和应用matpower的潮流计算完全一致。 代码注释详细，能可靠运行，可拓展性强，算例参数可调，适合新手学习。 潮流计算的各个步骤都写在子函数里，模块化强，便于对潮流计算原理进行理解。 牛顿法潮流计算的步骤： （1）输入电力系统节点、支路、发电机的基本参数，形成导纳矩阵； （2）假设系统共有n个节点，m个PQ节点，因为平衡节点有且只有一个，所以PV节点共有n-m-1个，对于所有的PQ节点和PV节点，列写有功功率的不平衡量方程，对于PQ节点，还可以列写无功功率不平衡量的方程； （3）求雅可比矩阵，解修正方程； （4）修正节点电压； （5）求支路功率。

矿山瓦斯突出与爆炸事故的预测预报是当前我国煤矿安全生产中急待解决的问题之一。引入BP神经网络的拟牛顿(Newton)优化算法,在保留空间实体相关和多种分布并存的前提下,讨论了建立拟牛顿优化算法BP神经网络瓦斯灾害预测预报模型的数学模型设计、网络结构设计和程序设计3个部分,并以济宁二号井为实例进行了测试。结果表明:该模型稳定、快速、预测精度高,能够较好地模拟矿山瓦斯突出与爆炸事故特征,对瓦斯灾害作出较准确的预测。

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为精确获得矿石破碎机关键机构的运动规律及受力状态,运用矩阵法建立了破碎机关键机构的运动学和动力学数学模型,对于机构的运动学位置涉及非线性超越方程组的问题,以牛顿数值法进行该问题的通用MATLAB程序求解,并利用MATLAB软件对该机构进行了运动学和动力学分析,实现分析结果的可视化,为机构的进一步深入研究提供了基础。

其迭代公式为：，式中为海塞矩阵，为梯度hps://blog.csdn.net/STM89C56/arcle/details/105643162（牛顿法博客）hp

通过本实验加深对拉格朗日插值和牛顿插值法构造过程的理解； 2．能对上述两种插值法提出正确的算法描述编程实现。 已知y=f(x)在若干点处的函数值如下表所示，用7次拉格朗日插值法和7次牛顿插值多项式求t1=0.30，t2=1.15和t3=1.85处的函数近似值y(t1)，y(t2)，y(t3)