二、李雅普诺夫稳定性定理 李雅普诺夫第二方法又称李雅普诺夫直接法 ,应用这一方法可在不解微分方程的条件下 确定系统的稳定性 ,因此这一方法有很大的优越性。 对于由式 (2. 1 1 ) 描述的系统 �X = f ( X, t) (2 .1 1) 如果 f (0 , t) = 0 (2 .1 6) 则系统可能的平衡状态 Xe = 0 ,即为坐标原点 0。 为了分析系统的稳定性 ,李雅普诺夫引出一个虚构的能量函数 ,称为李雅普诺夫函数。分 析这一函数的性质 ,就可解析地分析系统的稳定性。下面讨论李雅普诺夫函数和李雅普诺夫稳 定性定理及其应用。 (一 ) 李雅普诺夫函数 图 2. 1 3 质量 阻尼器 弹簧系统 对于一个机械振动系统 ,如果系统的总能量随 着时间 t的增长而连续地减少 ,直到平衡状态为止 , 则系统是稳定的。在这种情况下 ,系统的总能量对时 间的导数是负的。为了说明问题 , 先举一个质量 阻 尼器 弹簧的机械系统例子 ,如图2 .1 3 所示。 系统的自由运动方程为 m̈y + f�y + ky = 0 (2 .1 7) 式中 m为物体的质量 ; y为物体的位移 ; f 为阻尼系 数 ; k为弹簧刚度。取状态变量为 x1 = y , x2 = �y ,则 可得系统状态方程 �X = 0 1 - k m - 1 f X (2 .1 8) 式中 X = [ x1 x2 ] T 。设系统静止时 y = 0 和�y = 0 ,即 x1 = 0 和 x2 = 0 , Xe = [ 0 0 ] T 为系 统静止状态或平衡状态。 系统含有两个贮能元件 :质量和弹簧。因此 ,系统的总能量等于贮存在质量中的动能和贮 存在弹簧中的势能之和 ,即 V ( X, t) = 1 2 mx 2 2 + 1 2 kx 2 1 (2 .1 9) 总能量 V ( X, t) 恒为正 ,即当 X≠ 0时 , V ( X, t) > 0。当 X = 0时 , V ( 0) = 0。V ( X , t) 称为李雅 普诺夫函数。 求 V ( X, t) 对时间 t的导数 dV d t = �V �x 1 �x1 + �V �x 2 �x2 = kx1�x 2 1 + mx2�x2 ( 2 .1 10) 由式 (2 .1 8 ) 可得 —7—

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