（4） 2 cμ = 三、单调可测集列的性质 定 理 3 设 ( )nE n=1,2, 为 单 调 上 升 的 可 测 集 列 ， 记 1 lim , limn n nn n nS E E m E m S ∞ = → ∞ → ∞ = ∪ = =则 。即极限集测度=测度极 限。 定 理 4 设 ( )nE n=1,2, 为 单 调 下 降 的 可 测 集 列 ， 记 0 01 lim , limnn n nn nnn EE E E mEE mE ∞ = →∞ →∞ ∞= ∩ = =若存在某个 ,使 <+ 则, 注解：①、定理 4 中条件“ 0 0n n E E ∞若存在某个 ,使 <+ ”不能去掉，否则结论不一 定成立， 如取 ( ) ( ), ,nE n= +∞ n=1,2, ， 1lim 0n nn nmE mE m E m ∞ →∞ = ⎛ ⎞= +∞ ≠ = = ∩ = ∅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 ②、由定理 3 有 1 lim n kn k nn E E ∞ ∞ = =→ ∞ = ∪ ∩ ， kk n E ∞ = ∩ 中单调上升，有 lim limn kn k nn m E m E ∞ →∞ =→∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ∩⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； ③、由定理 4 有， 1 l i m n kn n k nE E ∞ ∞ → ∞ = = = ∩ ∪ 中 kk n E ∞ = ∪ 单调下降，若存 在 0 0 ,k kk n k nE E ∞ ∞ = = ⎛ ⎞∪ ∪ < +∞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 使m ，则 ( )lim limn kn n k nm E m E ∞ →∞ →∞ = ⎛ ⎞= ∪⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 考虑到 n kk n E E ∞ = ⊂ ∪ ，则有 n kk n mE m E ∞ = ⎛ ⎞≤ ∪⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 两边取极限有， ( )lim limn nn nmE m E→∞ →∞≤

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