我们研究了具有参数激励和一个外部强迫的Duffing方程，并获得了分岔和混沌的丰富动力学行为。 通过梅尔尼科夫方法得到了周期扰动下达芬方程的混沌判据。 并证明了Duffing方程在准周期摄动Ω=nω+ ϵν下的平均系统的混沌相对于ω）是不合理的，并且示出了n = 1,2,4,6，但存在平均系统的混沌当n = 3、5、7-15时，不能证明Duffing方程的有效性，而通过数值模拟可以证明原始系统中混沌的发生。 数值模拟不仅显示了理论分析的正确性，而且还显示了更多新的复杂动力学行为，包括等斜或非斜分叉面，分叉图，最大李雅普诺夫指数图，相图和庞加莱图。 我们发现大的混沌区域具有一些孤立的周期参数点，大的周期和准周期区域具有一些孤立的混沌参数点，周期加倍到混沌和混沌到逆周期加倍，非密集曲线混沌吸引子，非吸引混沌运动，非混沌吸引集，碎片混沌吸引子。 通过调整Duffing系统的参数，几乎可以看到混沌运动，几乎可以看到非混沌运动，这可以看作是混沌控制的悲剧，也可以看作是混沌运动变成了非混沌运动的悲剧。

一个用于图像加密的MATLAB程序，供初学者学习了解基于混沌序列的图像加密使用。

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ChaosToolbox2p0_trial.rar 卢振波老师的混沌时间序列预测工具箱，可用，非常不错

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混沌工程实践指南（2021年）

针对传统PID整定控制效果差且单纯神经网络整定存在参数学习和调整困难等问题，提出了一种基于改进模糊神经网络的PID参数整定方法。在该方法中，PID控制器的控制参数采用基于Mamdani模型的模糊神经网络进行自适应整定，模糊神经网络参数采用混沌遗传算法离线粗调和BP算法在线细调的方式进行学习和调整，仿真结果表明该整定策略动态响应快、误差控制精度高且网络中各节点及参数物理意义明确。最后分别从模糊规则数的变化及适应度函数的选取两方面提出两种优化方案，仿真结果表明增加模糊规则数或采用不同的适应度函数都有利于进一步减小控制误差。

pygpc 基于广义多项式混沌方法的Python敏感性和不确定性分析工具箱 基本功能： N维系统的高效不确定性分析 使用Sobol指数和基于全局导数的敏感性指数进行敏感性分析 轻松耦合到用Python，Matlab等编写的用户定义模型... 并行化概念允许并行运行模型评估 高效的自适应算法可以分析复杂的系统 包括高效的CPU和GPU（CUDA）实施，可极大地加快解决高维和复杂问题的算法和后处理例程 包括最新技术，例如： 投影：确定最佳折减基数 L1最小化：利用压缩感测中的概念减少必要的模型评估 梯度增强型gPC：使用模型函数的梯度信息以提高准确性 多元素gPC：分析具有间断和急剧过渡的系统 优化的拉丁文Hypercube采样可实现快速收敛 应用领域： pygpc可用于分析各种不同的问题。 例如，在以下框架中使用它： 非破坏性测试： 无创性脑刺激： 经颅磁刺激：

首先推导了两个基于磁控忆阻器模型的串联忆阻器的特性及磁通电荷关系, 然后通过使用这个忆阻系统获得一个新颖的四维超混沌系统, 它有两个正的李雅普诺夫指数． 通过观察各种混沌吸引子、 功率谱和分岔图可看到丰富的动力学现象． 最后, 建立了模拟该系统的SPICE电路． SPICE仿真结果与数值分析一致, 这进一步显示了该超混沌系统的混沌产生能力

结合相空间重构理论和统计学习理论.实现混沌时间序列的多步预测.采用微熵率法求得最优嵌入维数和时延参数,重构系统相空间,用最小二乘支持向量机建立混沌时间序列的多步预测模型,并与径向基函数网络预测模型比较.结果表明,所建立的模型能够捕捉到原混沌系统的动力学特征.前者的归一化均方根预测误差远小于径向基函数网络预测模型的预测误差,泛化能力较强,其预测效果较好.