义如下: 表 2.5 两标量间的数学运算符 运算符 代数形式 MATLAB 形式 加号 A+B A+B 减号 A­B A­B 乘号 A×B A*B 除号 B A A/B 指数 BA A^B ∑ = = n k jkbkiajic 1 ),(),(),( 例如 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 43 21 a , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 12 31 a ,那么 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −− =× 1010 67 ba 。注意，在矩阵相乘中，a 阵 的列数必须等于 b 阵的行数。 MATLAB 用一个特殊的符号来区分矩阵运算和数组运算。在需要区分两者不同的时侯， 把点置于符号前来指示这是一个数组运算（例如，.*）。表 2。6 给出的是一些常见的数组和 矩阵运算。 表 2.6 常见的数组和矩阵运算 运算 MATLAB 形式 注释 数组加法 A+B 数组加法和矩阵加法相同 数组减法 A­B 数组减法和矩阵减法相同 数组乘法 A.*B A 和 B 的元素逐个对应相乘.两数组之间必须有相同 的形,或其中一个是标量. 矩阵乘法 A*B A 和 B 的矩阵乘法.A 的列数必须和 B 的行数相同. 数组右除法 A./B A 和 B 的元素逐个对应相除: A(i,j)/B(i,j)两数组之间必须有相同的形,或其中一个 是标量. 数组左除法 A.\B A 和 B 的元素逐个对应相除: B(i,j)/A(i,j)两数组之间必须有相同的形,或其中一个 是标量. 矩阵右除法 A/B 矩阵除法,等价于 A*inv(B), inv(B)是 B 的逆阵 矩阵左除法 A\B 矩阵除法,等价于 inv(B)*A, inv(A)是 A 的逆阵 数组指数运算 A.^B AB 中的元素逐个进行如下运算 A(i,j)^B(i,j), A(i,j)/B(i,j)两数组之间必须有相同的形,或其中一个 是标量. 初学者往往混淆数组运算和矩阵运算.在一些情况下,两者相互替换会导致非法操作, MATLAB 将会报告产生了错误。在另一些情况下，两种运算都是合法的，那么这时 MATLAB 进行错误的运算，并产生错误的结果。当我们进行方阵运算时，极易产生这样的错误。两个 方阵具有相同的大小，两者之间的数组运算和矩阵运算都是合法的，但产生的结果完全不同。 在这种情况下，你要万分的小心。 编程隐患 在你的 MATLAB 代码中，仔细区分数组运算和矩阵运算。数组乘法和矩阵乘法极易混 淆。

2.1 变量和数组 MATLAB 程序的基本数据单元是数组。一个数组是以行和列组织起来的数据集合，并 且拥有一个数组名。数组中的单个数据是可以被访问的，访问的方法是数组名后带一个括号， 括号内是这个数据所对应行标和列标。标量在 MATLAB 中也被当作数组来处理——它被看 作只有一行一列的数组。 数组可以定义为向量或矩阵。向量一般来描述一维数组，而矩阵往往来描述二维或多维 数组。在本书中，当我们讨论一维数组时用向量表示，当我们讨论二维或多维向量时用矩阵。 如果在特殊情况下，同时遇到这两种数组，我们就把他们通称为“数组”。 数组的大小（size）由数组的行数和列数共同决定,注意行数在前。一个数组所包含的数 据多少可由行数乘列数得到。例如，下列数组的大小为 数组 大小 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 65 43 21 A 这是一个 3×2 矩阵，包含 6 个元素 [ ]4321=B 这是一个一维行向量，共有 4 个元素 图 2.1 一个数组是以行和列组织起来的数据集合,此数组 arr 含有 20 个元素，共 4 行，5 列。阴影元素是 arr(3,2) row1 row2 row3 row4 col1 col2 col3 col4 col5

第四章 循环结构 循环(loop)是一种 MATLAB 结构，它允许我们多次执行一系列的语句。循环结构有两 种基本形式:while 循环和 for 循环。两者之间的 大不同在于代码的重复是如何控制的。在 while 循环中，代码的重复的次数是不能确定的，只要满足用户定义的条件，重复就进行下 去。相对地，在 for 循环中，代码的重复次数是确定的，在循环开始之前，我们就知道代码 重复的次数了。 4.1 while 循环 只要满足一定的条件，While 循环是一个重复次数不能确定的语句块。它的基本形如下 while expression ... ... code block ... end 如果 expression 的值非零(true)，程序将执行代码块(code block)，然后返回到 while 语句 执行。如果 expression 的值仍然非零，那么程序将会再次执行代码。直到 expression 的值变 为 0，这个重复过程结束。当程序执行到 while 语句且 expression 的值为 0 之后，程序将会 执行 end 后面的第一个语句。 while 循环的伪代码为 while expr ... ... ... end 我们将用 whlie 循环编写一个统计分析的程序。 例 4.1 统计分析在科学工程计算中，跟大量的数据打交道是非常平常的事，这些数据中的每一 个数据都是对我们关心的一些特殊值的度量。本课程的第一次测验的成绩就是一个简单的例 子。每一个成绩都对某一个学生在本课程中学到多少东西的度量。 许多的时侯，我们并不关心某一个单个数据。我们可以通过总结得到几个重要的数据， 以此告诉我们数据的总体情况。例如，一组数据的平均数(数学期望)和标准差。平均数的定 义如下: ∑ = = N i ixN x 1 1 (4.1) 其中 xi 代表 n 个样本中的第 i 个样本。如果所有的输入数据都可以在一个数组中得到， 这些数据的平均数就可以通过公式(4.1)直接计算出来，或应用 MATLAB 的内建函数 mean。 标准差的定义如下:

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第五章 自定义函数 在第三章中，我们强调了好的编程习惯的重要性。我们进行开发的基本手段是自上而下 的编程方法。在自上而下的编程方法中，它开始于对所要解决问题的精确陈述和定义输入量 和输出量。下一步，我们在大面上进行算法的描述，然后把算法分解成一个一个的子问题。 再然后，程序员把这一个个子问题进行再一次的分解，直到分解成简单而且能够清晰理解的 伪代码。 后把伪代码转化为 MATLAB 代码。 尽管我们在前面的例子中，按照上面的步骤进行了编程。但是产生的结果在某种程度上 还是受限制的。因为我们必须把每一个子问题产生的 MATLAB 代码嵌入到一个单独的大程 序中。在嵌入之前我们无法对每一次子问题的代码进行独立地验证和测试。 幸运的是，MATLAB 有一个专门的机制，在建立 终的程序之前用于独立地开发与调 试每一个子程序。每一个子程序都可以独立函数的形式进行编程，在这个程序中，每一个函 数都能独立地检测与调试，而不受其他子程序的影响。良好的函数可以大大提高编程的效率。 它的好处如下： 1.子程序的独立检测 每一个子程序都可以当作一个独立的单元来编写。在把子程序联合成一个的大程序之 前，我们必须检测每一个子程序以保证它运转的正确性。这一步就是我们熟知的单元检测。 在 后的程序建立之前，它排除了大量的问题。 2.代码的可复用性 在许多的情况下，一个基本的子程序可应用在程序的许多地方。例如，在一个程序的许 多地方，要求对一系列按由低到高的顺序进行排序。你可以编一个函数进行排序，然后当再 次需要排序时可以调用这个函数。可重用性代码有两大好处：它大大提高了整体编程效率， 它更易于调试，因为上面的排序函数只需要调试一次。 3.远离意外副作用 函数通过输入参数列表（input argument list）从程序中读取输入值，通过输出参数列表 （output argument list）给程序返回结果。程序中，只有在输入参数列表中的变量才能被函数 利用。函数中，只有输出参数列表中的变量才能被程序利用。这是非常重要的，因为在一个 函数中的突发性编程错误只会发生错误的函数的变量。一旦一个大程序编写并发行，它还要 面临的问题就是维护。程序的维护包括修补错误，修改程序以适应新或未知的环境。作维护 工作的程序员在一般情况下不会是程序的原作者。如果程序编写的不好，改动一处代码就可 能对程序全局产生负面影响。这种情况的发生，可能是因为变量在其他部分被重新定义或利 用。如果程序员改变这个变量，可能会导致后面的程序无法使用。 好的函数的应用可以通过数据隐藏使问题 小化。在主函数中的变量在函数中是不可见 的（除了在输入变量列表中的变量），在主程序中的变量不能被函数任意修改。所以在函数 中改变变量或发生错误不会在程序的其他部分发生意外的副作用。

二维坐标轴设置 3.2 坐标变量、轴范围、轴连接 二维云图（ 2D Contour ） 3.3 云图数值表（Legend）和 云图标尺（Level） 3.4 标签、多层变量、多颜色块、连续颜色区块 二维散点图（ 2D Scatter ） 3.5 散点图设置 二维矢量图（ 2D Scatter ） 3.6 矢量图设置 流线图（ 2D Scatter ） 3.7二维流线图设置

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COMSOL Multiphysics 5.4 最新声学模块手册，包含压力声学、声-结构耦合、气动声学、热粘性声学、超声、几何声学、多物理场耦合等多个模块讲解。