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3.2 试验设计与初始样本选择 代理优化算法的第一步是选择初始样本点， 并建立初始代理模型。虽然理论上可以像梯度优 化算法那样只给出一个初始点，但针对全局优化 问题，更好的方法是通过试验设计选取一组样 本。 试验设计（DoE）的思想是通过选取 少的 样本点，使获取的关于未知设计空间的信息 大 化。Giunta 等人在文献[39]中将 DoE 方法分为两 类：经典试验设计和现代试验设计方法。经典试 验设计方法包括全因子设计、中心组合设计 （CCD）、Box-behnken 设计、D 优化（D- Optimal）方法等。经典试验设计方法主要用于安 排仪器实验,并考虑到如何减小实验随机误差的影 响。现代试验设计方法包括拟蒙特卡洛方法、准 蒙特卡洛方法、拉丁超立方（LHS）、正交试验 设 计 （ OAD ） 、 哈 默 斯 利 序 列 采 样 方 法 （HSS）。我国方开泰教授发明的均匀设计 （UD[40]）也属于现代试验方法的范畴。现代试 验设计主要采用“空间填充”的思想，用于安排 确定性的计算机试验，其中尤以拉丁超立方和均 匀设计方法比较流行（如图 5）。 不同试验设计方法选取的样本点不同，导致 初始代理模型的近似精度不同，从而对代理优化 的效率有影响。同样影响优化效率的是初始样本 点的数目。文献[31]和[37]讨论了样本点数的选 择。对于传统代理模型优化方法，必须使代理模 型具有足够精度。因而一般初始样本点数与后期 增加的样本点数的比值在 2：1 以上。例如对于 二次响应面方法，对于 m 维问题的初始样本点数 必须大于 m(m+1)/2。而对于基于 kriging 模型的 代理优化算法，初始样本点数理论上不受设计空 间维数的限制，且优化效率对初始样本点数的依 赖也并不明显。一般情况下初始样本点数与后期 增加的样本点数之比在 1：2 以下。 v1 v 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 v1 v 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 图 5 采用拉丁超立方（左图）和均匀设计（右图）针 对 2 维设计空间选择的 25 个样本点示意图 Fig. 5 Schematics of 25 sample points selected by Latin hypercube sampling (left) and uniform design (right) for a 2-D problem 3.3 优化加点准则及其子优化求解 建立初始代理模型后，下一步是通过一定的 法则循环选择新的样本点，直到优化收敛。所谓 “优化加点准则” [15][31][71][106] ，是指如何由所建 立代理模型去产生新的样本点的法则或规则。所 谓“子优化”，是相对主优化而言，是指采用传 统优化算法求解由加点准则所确定的优化问题， 得到新的样本点的过程。主优化加点循环中的每 一步，都要进行一次完整的子优化迭代，直到子 优化收敛。但由于在子优化中，无需访问精确数 值分析，因此计算时间可以忽略。 针对基于 kriging 模型的代理优化算法，国 际上已经发展了多种加点准则 [31][106][107] ，包括 MSP 准则[15][108]、EI 准则[15][20][74]、PI 准则[106] [107][109] 、 MSE 准 则 [106][109] 、 LCB 准 则 [75] [106][107] 。为了说明这 5 种常见加点准则的原理和 子优化问题的建立，下面以某一维函数为例，采 用 4 个样本点 T[0,0.4,0.6,1.0]S 建立 kriging 模 型。该一维函数来自文献[31]，表达式为： ( ) sin( ), [ , ]   y x x x26 2 12 4 0 1 (57) 3.3.1 小化代理模型预测准则 (MSP, minimum of surrogate prediction) 该方法是 简单、 直接，也是 早被采用 的方法 [15][106]-[110] 。其原理是直接在代理模型上寻 找目标函数的 小值。带约束的子优化问题数学 模型如下：