### avizo软件指导手册知识点详解 #### 一、版权与商标信息 Avizo软件是由Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) 和FEI SAS（现为Thermo Fisher Scientific的一部分）联合开发的一款专业图像处理与分析软件。根据版权信息显示，该软件自1995年起至2019年，其所有版权均归属于ZIB及FEI SAS，且所有权利均被保留。此外，Avizo软件中使用的商标均为Thermo Fisher Scientific及其子公司的财产，除非另有说明。 #### 二、软件介绍 ##### 2.1 概览 Avizo是一款功能强大的三维可视化和数据分析软件，主要用于科学计算、工程设计、医疗影像等多个领域。它支持多种数据格式的导入，并提供一系列高级工具帮助用户进行复杂的数据分析与处理工作。 ##### 2.2 特性概述 **2.2.1 数据导入** Avizo支持广泛的文件格式，包括但不限于DICOM、TIFF、STL等。这使得用户可以从不同的来源获取数据并直接在软件中进行处理。 **2.2.2 查看、导航与交互** 软件提供了直观的界面，用户可以轻松地查看、旋转、缩放以及平移3D模型。此外，Avizo还支持实时渲染，能够在不牺牲性能的情况下提供流畅的交互体验。 **2.2.3 三维图像数据可视化** 通过Avizo，用户可以对3D图像数据进行高效的可视化操作，如体积渲染、表面渲染等，以便更直观地理解和分析复杂结构。 **2.2.4 图像处理** 软件内置了丰富的图像处理工具，如滤波、分割、增强等功能，能够帮助用户提高图像质量或提取特定特征。 **2.2.5 模型重建** Avizo具备强大的模型重建能力，可以通过算法自动或半自动地从原始数据中生成高质量的三维模型。这对于后续的分析和应用至关重要。 #### 三、软件使用限制与注意事项 根据版权信息，该手册仅授权给Thermo Fisher Scientific的许可用户使用，并且只能用于与其提供的软件相关的用途。未经书面授权，任何使用、复制或披露行为都是禁止的。此外，尽管软件会定期更新以修正错误和完善功能，但Thermo Fisher Scientific并不承担因依赖于本手册材料而产生的任何损失或损害责任，包括但不限于打字错误、算术错误或列表错误。 #### 四、专利保护 Avizo软件中的Avizo XEarth Extension和Avizo XLVolume Extension扩展模块包含了Landmark U.S. Patent Numbers 6,765,570的专利保护。这意味着这些功能受到法律保护，未经授权不得使用。 #### 五、总结 Avizo软件是一款专为科学研究与工程应用设计的强大工具，它不仅支持多样的数据格式，还提供了丰富的图像处理和可视化功能。通过对上述内容的详细介绍，我们可以看到Avizo在多个方面都有着卓越的表现，无论是数据导入、交互式查看还是复杂的模型重建，都能够满足用户的高标准需求。对于科研人员和工程师来说，熟练掌握Avizo的各项功能将极大地提升工作效率和研究质量。

由于用户要求不回复多余的字，我们直接开始详细说明知识点。 **浪潮存储用户手册** **新手上路** 1. 登录浪潮存储系统软件的方式主要通过Web浏览器。推荐使用的浏览器版本包括Firefox 3.0及以上或IE8.0。访问浪潮存储系统的出厂设置IP地址有两个，分别是***.***.*.***和***.***.*.***，建议使用1024*768分辨率进行浏览。登录界面的管理员账户默认为root，密码也是root。用户应该在与存储系统同网段的管理员控制台上进行登录操作。 2. 登录成功后，系统会显示主页面。主页面包含四个部分：控制器状态显示区、主功能区、辅助功能区和操作显示区。主功能区可以用来访问存储资源、主机组管理、网络设置、系统选项等模块。 **存储资源** 1. 磁盘信息：浪潮存储系统提供了磁盘信息页面，其中包括物理磁盘信息列表和图形显示。用户可以查看系统当前所有可用磁盘的状态、位置、所属阵列、所属卷组等信息。磁盘的状态可为member（成员盘）、hotspare（全局热备盘）、free（游离盘）三种。此外，系统还提供了将磁盘转换状态的功能，例如将热备盘转为游离盘，或把游离盘转为热备盘。磁盘的位置信息可以是local（主机上）或jbodx（JBOD上）。槽位信息标识了磁盘所在的物理位置。此外，如果需要，用户也可以对磁盘进行初始化操作。 2. 卷组管理：用户通过点击主功能区的存储资源->卷组来进行卷组管理。此部分涉及到物理磁盘、RAID阵列以及卷组的创建和管理。卷组是逻辑存储单元，它们建立在RAID之上，可进一步被划分为逻辑卷。 3. 逻辑卷管理：逻辑卷管理是存储资源管理的核心部分，用户可以创建、管理逻辑卷，以满足不同的数据存储需求。逻辑卷在用户看来，是一个或多个物理磁盘上的可用空间。 **主机组管理** 1. 主机组管理分为IPSAN主机组管理和FC主机组管理。IPSAN（Internet Protocol Storage Area Network）和FC（Fibre Channel）是两种常见的存储网络协议，它们通过网络为存储系统提供访问能力。 2. IPSAN主机组管理：这部分涵盖如何设置和管理基于IP协议的存储区域网络。用户可以对IPSAN主机组进行管理、配置会话。 3. FC主机组管理：这部分包含对基于光纤通道协议的主机组进行管理的相关操作。 **网络设置** 1. 基本设置：包括对存储系统的网络进行初始化设置，如配置IP地址、子网掩码、网关等。 2. 网络连接：涉及对存储系统与网络连接的配置和管理。 3. 设备信息：显示网络上的相关设备信息，如已连接的IPSAN/FC主机等。 **系统选项** 1. 时间日期：设置和同步存储系统的系统时间。 2. 系统日志：查看和管理存储系统的日志文件。 3. 系统恢复和升级：对存储系统进行备份和恢复操作，以及软件的升级。 4. 配置管理：配置存储系统的相关参数，如RAID配置、卷组配置等。 5. 管理员设置：设置和管理存储系统管理员账户信息。 6. 系统监控设置：监控系统运行状态，设置性能指标的阈值，进行故障预警。 7. 系统状态：查看当前系统运行的状态和统计数据。 8. 系统吞吐量：分析存储系统在一段时间内处理数据的速率。 9. 系统电源管理：对存储系统的电源进行管理，包括电源状态监控、电源故障切换等。 **超级终端** 1. 登录系统：访问存储系统的命令行界面，执行用户接口命令。 2. 用户接口命令：通过命令行方式执行各种管理操作，如磁盘管理、网络配置等。 附录部分提供了额外的信息，例如如何在Windows和Linux系统上安装启动器，以及目标器命名规范和IP-SAN的快速使用指南。这些附录帮助用户更加便捷地配置和使用浪潮存储系统。 总结来说，浪潮存储用户手册详细介绍了用户如何登录系统、管理存储资源、设置主机组、配置网络、调整系统选项、使用超级终端等操作。手册不仅包括了操作指南，还涵盖了系统诊断、监控和维护的方法，是使用浪潮存储系统不可或缺的参考资料。

**FASM手册1.67版详解** FASM（Flat Assembler）是一款高效、小巧且功能强大的16位和32位X86汇编语言编译器，它以其高度可定制性和对底层硬件的直接控制能力而备受程序员喜爱。FASM手册1.67版是针对这个版本的详细指南，旨在帮助新手快速掌握FASM的使用方法，同时也为有经验的开发者提供了深入的参考。 1. **FASM简介** - FASM的特点：FASM是一个线性汇编器，其语法简洁，编译速度快，支持多种操作系统，包括DOS、Windows、Linux、FreeBSD等。 - 源代码格式：FASM使用自己的源代码格式，允许在汇编代码中直接嵌入C-like注释，提高了代码的可读性。 2. **安装与配置** - 下载与安装：获取FASM1.67的安装包，解压并执行编译或安装步骤。 - 配置环境变量：将FASM的可执行文件路径添加到系统环境变量PATH中，以便于命令行调用。 3. **FASM语法基础** - 指令系统：了解X86架构的基本指令，如MOV、ADD、SUB、JMP等。 - 注释语法：FASM支持以分号（;）开始的单行注释和以两个冒号（::）开始的多行注释。 - 宏定义：FASM提供宏语言，可以创建可重用的代码块，提高代码效率。 4. **汇编过程** - 源代码编写：学习如何编写简单的汇编程序，包括数据定义、指令序列和函数调用。 - 编译与链接：使用FASM编译源代码，生成OBJ文件，然后通过链接器（如Microsoft Link）生成可执行文件。 5. **高级特性** - 内联汇编：在高级语言（如C/C++）中使用FASM进行内联汇编，提升代码性能。 - 段定义：理解段的概念，如代码段（CODE）、数据段（DATA）和堆栈段（STACK）的使用。 - 寄存器管理：熟悉X86架构中的通用寄存器、控制寄存器和状态寄存器的使用。 6. **调试与优化** - 调试工具：使用如OllyDbg、GDB等调试器来调试FASM编译的程序。 - 代码优化：学习如何通过调整指令顺序、减少内存访问和使用更高效的算法来优化代码。 7. **FASM与其他工具集成** - 集成开发环境（IDE）：使用如Code::Blocks、Visual Studio Code等IDE，配合插件进行FASM开发。 - Makefile：学习如何编写Makefile，自动化构建过程。 8. **FASM实例分析** - 简单程序示例：如"Hello, World!"程序，介绍基本的输入输出操作。 - 复杂示例：如内存管理、图形绘制等，展示FASM在实际项目中的应用。 9. **FASM社区与资源** - 在线文档：访问FASM官网获取最新的文档和更新信息。 - 论坛与社区：加入FASM用户社区，与其他开发者交流学习，解决遇到的问题。 通过阅读《FASM手册1.67版》，开发者能够全面理解FASM的各个方面，从基础的汇编语法到高级的编程技巧，从而在X86平台上实现高效、低级的编程。对于任何想深入了解计算机底层工作原理或者希望提升程序性能的开发者来说，这都是一份不可多得的学习资料。

基于STM32的超声波水位检测与水温监控智能控制系统 该系统支持水位检测、水温检测、水泵控制及数据分析功能，连接阿里云服务器实现远程监控。支持原理图和源码公开。,基于STM32的超声波水位检测与水温控制系统——集成阿里云服务器及手机APP监控,基于STM32的水位检测自动控制系统 支持: 水位检测、水温检测、水泵控制、水温水位数据分析、已连接阿里云服务器、有手机端APP 水位检测: 超声波模块 水温检测: 温度传感器DS18B20 内容: 原理图、PCB文件、程序源码、服务器配置资料、模块参考资料 ,基于STM32; 水位检测; 水温检测; 自动控制系统; 超声波模块; 温度传感器DS18B20; 原理图; PCB文件; 程序源码; 服务器配置资料; 模块参考资料; 阿里云服务器; 手机端APP。,基于STM32的智能水位与水温自动控制系统——支持超声波检测与云服务器数据互通

Cisco 1800系列Mobility-Express部署手册中文版的内容涉及的是思科公司针对中小企业推出的一种名为Mobility Express的无线网络解决方案。这种解决方案能够帮助企业快速部署无线网络。以下是对Mobility Express无线网络解决方案的详细解释，以及如何部署和使用它的相关知识点。 关于Mobility Express无线网络解决方案，它是为了满足中小企业的快速部署需求而设计的。这种无线网络解决方案具有易操作、易管理、成本低等特点，能够帮助企业以最快的速度建立起自己的无线网络环境，从而提升工作效率和改善员工的工作环境。 Mobility Express是思科的无线网络产品线中的一个新品，与以往的无线网络产品相比，Mobility Express在部署的便捷性、运行的稳定性以及对移动终端的良好支持等方面都有了显著的提升。 在部署方面，Mobility Express采用了一种全新的配置方式，可以实现即插即用。对于技术力量较弱的中小企业来说，这一点是非常重要的。即使是非专业技术人员，也可以在较短的时间内完成设备的配置和网络的部署。 在运行稳定性方面，Mobility Express采用了先进的无线网络技术和算法，保证了网络的高速和稳定运行。它可以支持大量的无线设备同时在线，而且网络带宽可以随着在线设备数量的增加而自动调整，确保每个设备都能获得较好的网络体验。 对于移动终端的良好支持，是Mobility Express的另一大亮点。目前市场上的大多数移动设备如智能手机、平板电脑等，都可以无缝连接到Mobility Express构建的无线网络。无论是在会议室、公共区域还是在员工的办公桌前，都可以享受到流畅的无线网络体验。 在实际部署过程中，首先需要准备网络设备，包括无线接入点(AP)和无线控制器等硬件设备，同时还需要安装相关的软件系统。在硬件设备方面，Mobility Express无线解决方案通常使用的是Cisco 1800系列的无线接入点(AP)，这种设备性能稳定，可以提供广泛的无线覆盖范围。 接下来是无线网络的配置。Mobility Express无线网络解决方案支持通过Web界面或者使用命令行进行配置。其中，Web界面的配置方式更加直观和简便，适合没有网络技术背景的用户使用。通过Web界面，用户可以轻松地完成无线网络的设置，比如设置无线网络的SSID、密码、加密方式等。此外，还可以对网络进行一些高级设置，如限速、访问控制列表等。 在网络的管理方面，Mobility Express提供了一套完善的网络管理方案，可以帮助企业管理人员监控整个网络的运行状况，对网络进行优化，甚至可以进行故障排查。通过网络管理工具，管理人员可以实时查看网络的运行状态，包括无线接入点的工作情况、客户端的连接状态等，从而确保网络的稳定性。 在安全性能方面，Mobility Express也做了精心的设计。它提供了多种安全措施，包括无线接入点的物理安全、无线信号的加密传输、用户的访问控制等。通过这些安全措施，可以有效地防止非授权的用户接入无线网络，确保企业的信息安全。 在实际使用过程中，用户可能会遇到各种问题，比如网络连接不稳定、网络速度慢等问题。对于这些常见问题，Mobility Express无线网络解决方案也提供了相应的解决方案和故障排查方法，帮助用户快速解决问题。 Mobility Express无线网络解决方案是思科公司针对中小企业推出的一款全面、易用、安全、稳定的无线网络产品。它不仅可以帮助企业快速建立起自己的无线网络，而且还可以通过简便的管理和维护，确保网络的稳定运行和安全。对于需要快速部署无线网络的中小企业来说，Mobility Express无疑是他们理想的选择。

RTL8211 Layout 指导手册详解 本文档是 RTL8211F(D)(I) 和 RTL8211FS(I)(-VS) 以及 RTL8211FG(I)(-VS) 等系列产品的layout指导手册，旨在为软件工程师提供详细的编程信息。下面将对该文档中的知识点进行详细的解释和总结。 1. Introduction 本文档的目的是为RTL8211F系列产品的软件工程师提供详细的编程信息，以便他们正确地设计和实现基于RTL8211F系列的网络系统。 RTL8211F系列产品是集成了10/100/1000M以太网收发器的芯片，能够提供高速的以太网连接。 2. RTL8211F系列产品概述 RTL8211F系列产品是Realtek Semiconductor Corp.开发的高性能以太网收发器芯片，具有高速的以太网连接能力和低功耗特点。该系列产品包括RTL8211F(D)(I)、RTL8211FS(I)(-VS)和RTL8211FG(I)(-VS)等多种型号，每种型号都具有其特有的功能和特点。 3. Layout指南 本文档提供了RTL8211F系列产品的Layout指南，旨在帮助软件工程师正确地设计和实现基于RTL8211F系列的PCB布局。该指南涵盖了RTL8211F系列产品的所有方面，包括引脚定义、PCB设计、信号完整性、power管理等方面的详细信息。 4. SerDes信号 RTL8211F系列产品支持SerDes信号，该信号可以提供高速的以太网连接能力。SerDes信号是高速度的序列数据传输技术，能够提供高速的数据传输能力。 5. 低下降电压调节器 RTL8211FD(I)型号具有低下降电压调节器，能够提供稳定的电压输出，满足高速以太网连接的需求。 6. 版权声明 本文档的所有权归Realtek Semiconductor Corp.所有，不得将本文档的任何部分复制、传输、转录、存储在检索系统中或翻译成任何语言，除非得到Realtek Semiconductor Corp.的书面许可。 7. 免责声明 Realtek Semiconductor Corp.提供本文档“按原样”，不提供任何形式的保证。本文档可能包含技术不准确或打印错误。Realtek Semiconductor Corp.保留对本文档的任何修改和/或更改的权利。 8. 牌号 Realtek是Realtek Semiconductor Corporation的商标。本文档中提到的其他名称是其各自所有者的商标/注册商标。 本文档为RTL8211F系列产品的软件工程师提供了详细的编程信息和Layout指南，旨在帮助他们正确地设计和实现基于RTL8211F系列的网络系统。

【STM32基础介绍】 STM32是一款基于ARM Cortex-M内核的微控制器，由意法半导体（STMicroelectronics）公司生产。Cortex-M系列是专门为微控制器设计的，具有低功耗、高性能和易于使用的特点。STM32家族包含了多种型号，提供了不同级别的处理能力、内存大小和外设接口，广泛应用于各种嵌入式系统，如自动化设备、物联网节点、机器人和消费电子产品等。 【循迹避障小车概述】 循迹避障小车是一种能够自主行驶并避开障碍物的小型机器人，通常由传感器、控制电路和执行机构组成。基于STM32的循迹避障小车，利用STM32的强大处理能力，实现对传感器数据的实时分析和处理，以及精确的电机控制，以确保小车能准确跟踪路径并有效避开障碍。 【硬件设计】 1. **AD硬件原理图**：AD（Analog-Digital）转换器用于将传感器收集的模拟信号转换为数字信号，供STM32处理。在这款小车中，可能包括红外线传感器（用于检测路径线条或障碍物）和速度编码器（用于监测电机转速）。原理图会详细描绘各个元器件的连接方式，以及电源、信号线和地线的布局。 2. **电机驱动电路**：STM32通过PWM（Pulse Width Modulation）信号控制电机驱动器，进而调节电机的速度和方向。电机驱动电路需要考虑驱动器的选择、保护电路的设计以及电源管理。 3. **电源管理**：小车可能需要一个稳定的电源，如锂电池，同时需要有过充、过放和短路保护功能。 4. **通信接口**：可能包含USB或蓝牙模块，用于与上位机通信，进行参数设置、数据读取或调试。 【Proteus仿真】 Proteus是一款集成电路仿真软件，支持硬件描述语言（如 VHDL 和 Verilog）以及微控制器的模型。在这个项目中，你可以： 1. **验证电路设计**：在虚拟环境中搭建硬件电路，检查各元器件的连接是否正确，避免实际焊接过程中的错误。 2. **程序仿真**：将编写的STM32代码烧录到虚拟芯片中，观察小车在模拟环境中的行为，包括循迹效果和避障策略。 3. **性能测试**：在没有实物硬件的情况下，评估小车的响应速度和稳定性。 【软件部分】 1. **STM32固件开发**：使用Keil uVision或IAR Embedded Workbench等IDE，编写C或C++代码实现小车的逻辑控制。主要任务包括初始化外设、处理传感器数据、决策算法（如PID控制）和电机控制。 2. **传感器数据处理**：通过ADC读取传感器值，根据颜色识别算法（如阈值比较）确定路径位置，通过超声波或红外传感器判断障碍物距离。 3. **避障算法**：当检测到障碍时，根据障碍的距离和小车的当前状态，计算出合适的避障策略，如转向、减速或停止。 4. **电机控制**：通过GPIO口输出PWM信号，控制电机驱动器改变电机的速度和方向，以实现小车的前进、后退、左转、右转等功能。 总结，这个项目涵盖了嵌入式系统的多个方面，从硬件设计、电路仿真到软件编程，提供了一个全面学习STM32和相关技术的机会。通过这样的实践，开发者可以提升在电子设计、嵌入式系统开发和机器人控制等领域的技能。

S7-200 PLC苹果分拣机系统是一套以西门子S7-200 PLC作为控制核心的自动化分拣设备，其目的在于实现对苹果的自动分类、拣选和排序。通过MCGS（Monitor and Control Generated System）组态软件，这套系统能够对苹果的大小、颜色、重量等不同属性进行识别和分级，确保分拣过程的准确性和高效性。 该系统的工作流程通常包括以下几个步骤：首先是苹果的输送，输送带将苹果依次送入检测区域；接着是检测，通过传感器检测苹果的尺寸、色泽、形状等特征，并将这些数据转化为电信号；然后是数据处理，PLC根据预设的程序和逻辑，对传感器传递来的信息进行处理；最后是分拣执行，PLC控制执行机构根据处理结果驱动相应的气缸或者电机，将苹果按照分类结果分配到不同的收集区域。 系统中包含了梯形图程序，这是一种用于编程PLC的图形化语言，它以梯形图的形式直观地描述了输入与输出之间的逻辑关系，方便技术人员对程序的编写与维护。在文件包中，梯形图程序的解释部分能够帮助操作者理解程序的运行逻辑和每个环节的具体功能。 接线图和原理图图纸是系统组装和调试过程中不可或缺的部分，它们详细展示了系统中各个电气元件的连接方式和工作原理。通过这些图纸，技术人员可以准确无误地进行电气接线，确保设备能够安全、稳定地运行。 I/O分配表是将PLC的输入输出端口与系统中的传感器、执行器等元件相对应的表格。通过这张表，可以清楚地知道哪个输入端口接收来自哪个传感器的信号，哪个输出端口控制哪个执行器的动作。这是保证系统能正确响应外部信号并执行相应动作的关键。 组态画面是指通过MCGS等组态软件设计的用户操作界面。在这个界面上，操作人员可以直观地看到系统当前的工作状态，包括苹果的分拣进度、各个传感器的状态以及可能发生的故障警报等信息。同时，组态画面还允许操作人员对系统进行控制，比如启动、停止、更改分拣参数等操作。 在数字化时代背景下，这套系统不仅提升了苹果分拣的效率，还大大减少了人工成本，提高了农产品加工的自动化水平。它采用的技术分析、系统设计和实施过程体现了自动化技术在现代农业加工领域的应用和发展趋势。 这套系统的实现也显示了现代工业自动化对于提高产品质量、降低生产成本、提升市场竞争力的重要性。随着科技的不断进步，类似这种高度集成和智能化的系统将会得到更广泛的应用，为各个行业带来革命性的变革。

HCIA-MDC（Huawei Certified ICT Associate - Mobile Data Center）是华为认证体系中针对移动数据中心应用开发的一个初级认证。这个认证旨在为IT专业人士提供必要的知识和技能，使他们能够参与到移动数据中心的应用开发和管理工作之中。V1.0版本是该认证的初始版本，可能包含了最新的技术和实践。 "HCIA-MDC Application Developer V1.0 版本说明"这部分内容可能会涵盖该认证的更新历史、认证目标、考试结构以及所涉及的主要技术领域。它会详细解释V1.0版本相对于其他版本的变化，帮助学习者了解最新的学习路径和要求。 "考试大纲"是考生准备认证考试的关键资料，它列出了考试中可能出现的所有主题和技能要求。通常包括了数据存储、网络连接、应用部署、性能优化、故障排查等方面的知识点，考生需要对这些内容有深入理解和实践能力。 "培训教材"则是学习HCIA-MDC认证的核心材料，它将系统地介绍移动数据中心的基础知识、架构、管理和运维技术。教材可能会包含理论讲解、案例分析和实践指导，帮助学习者逐步掌握移动数据中心的开发和应用。 "实验手册"提供了实际操作的机会，通过模拟真实环境中的任务，让学习者能够亲手操作，提升动手能力和问题解决能力。实验可能包括配置移动数据中心设备、编写和调试应用程序、优化资源分配等环节。 "环境搭建指导"是为了解决学习过程中设置学习环境的问题，指导如何配置和管理一个适合HCIA-MDC学习的平台。这可能涉及到虚拟化技术、云服务的使用，以及相关的开发和测试工具。 HCIA-MDC Application Developer V1.0的学习内容广泛且深入，涵盖了移动数据中心的各个方面，旨在培养出能够适应现代数据中心技术发展的专业人才。通过这个认证，专业人士可以增强其在数据中心领域的竞争力，为企业提供更加高效和安全的IT解决方案。

7.3 双中心化子定理 � 定定定理理理 7.7 (双中心化子). 设 A是任一给定的方阵，如果方阵 C和每一个与 A可交换 的方阵都可交换，则 C可以表示为 A的多项式。 证明. 首先把 A, C都看成某个向量空间上的线性变换，如果结论成立的话，显然下面 的条件是必须满足的： 引引引理理理 7.8. A的不变子空间直和分解必定也是 C的不变子空间直和分解。 引理的证明：设 V在 A的作用下分解为不变子空间的直和 V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vr，P是从 V 到 Vi 上的投影，则有 AP = PA，那么根据已知有 CP = PC，所以 Vi 也是 C的不 变子空间，引理得证。 我们还是来考虑 V 在 A的作用下的循环子空间分解 V = {v1} ⊕ {v2} ⊕ · · · ⊕ {vr}． 这里的 v1, . . ., vr 满足的条件仍然与定理 7.1中一致。由于 C在每个 {vi}上的限制与 A交换，所以立刻想到用上定理 7.5的结论：C在子空间 {vi}上可以表示为 A的多项 式 C = gi(A)。问题是这些 gi(x)相等吗？如果是同一个多项式那问题就解决了，但是 这个不那么显然，所以得分析的再细一点。我们回忆前面证过的结论（参考引理 7.4） 引引引理理理 7.9. 对任何 i > 1，存在与 A交换的变换 B使得 Bv1 = vi。（道理是一样一样的） 现在是它派上用场的时候了。我们有 v1 B−−−−→ vi C−−−−→ gi(A)vi， v1 C−−−−→ g1(A)v1 B−−−−→ g1(A)vi． 由于 CB = BC 所以两条路径的结果应该是一样的，也就是 gi(A)vi = g1(A)vi。再 强调一遍：循环空间上一个与 A 交换的变换由它在生成元处的值完全决定，所以 gi(A) 和 g1(A) 在 {vi} 上相同，所以我们可以统一用 g1(x) 来代替所有的 gi(x)，即 C = g1(A)。 这个定理的意义就是在环Matn(F)中，对矩阵 A生成的子环 R求两次中心化子 以后又得到了 R，所以叫做双中心化子定理。双中心化子性质是单代数的核心性质， 在结合代数理论中会经常见到它。 29