本文题为《背包问题九讲》，从属于《动态规划的思考艺术》系列。 这系列文章的第一版于2007年下半年使用EmacsMuse制作，以HTML格式发 布到网上，转载众多，有一定影响力。 2011年9月，本系列文章由原作者用LATEX重新制作并全面修订，您现在看 到的是2.0 alpha1版本，修订历史及最新版本请访问https://github.com/tianyicui/ pack 查阅。 本文版权归原作者所有，采用CC BY-NC-SA 协议发布。 ### 背包问题九讲 2.0 alpha1 知识点解析 #### 一、01背包问题 **1.1 题目** 01背包问题是最基础的背包问题之一，主要关注如何从N件物品中选择一些放入容量为V的背包内，使得这些物品的总价值最大化。每件物品只能选择放入或不放入，不可分割。 **1.2 基本思路** - **状态定义**: `F[i, v]` 表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。 - **状态转移方程**: \[ F[i, v] = \max\{F[i - 1, v], F[i - 1, v - C_i] + W_i\} \] 其中: - \(F[i - 1, v]\) 表示不放入第i件物品的情况； - \(F[i - 1, v - C_i] + W_i\) 表示放入第i件物品的情况。 - **伪代码**: ```plaintext F[0, 0..V] = 0 for i = 1 to N for v = C_i to V F[i, v] = max{F[i - 1, v], F[i - 1, v - C_i] + W_i} ``` **1.3 优化空间复杂度** 原始算法的时间复杂度和空间复杂度都是\(O(NV)\)。为了减少空间占用，可以将空间复杂度优化到\(O(V)\)。具体做法是在主循环中只维护一个一维数组\(F[0..V]\)来存储当前层的结果，并按从大到小的顺序更新数组中的元素，确保每个\(F[v]\)的计算都是基于前一层的数据完成的。 **1.4 初始化的细节问题** 在实际编程中，通常需要对初始条件进行处理。例如，在这里，所有\(F[0, v]\)的值被设置为0，这是因为没有物品的情况下，无论背包容量是多少，所能获得的价值总是0。 **1.5 一个常数优化** 在计算过程中，可以通过一些技巧进一步提高效率，比如预处理一些常用数据，避免重复计算等。 **1.6 小结** 01背包问题的关键在于理解状态转移方程的意义，并正确地应用它。优化后的空间复杂度降低了算法的资源消耗，使其更适用于大规模问题。 #### 二、完全背包问题 **2.1 题目** 与01背包问题不同，完全背包问题允许每种物品可以无限次选择放入背包。 **2.2 基本思路** - **状态定义** 同01背包问题，但在状态转移时，需要考虑同一种物品可以多次放入的情况。 - **状态转移方程**: \[ F[i, v] = \max\{F[i, v], F[i - 1, v - k \cdot C_i] + k \cdot W_i\} (k \cdot C_i \leq v) \] 其中\(k\)表示放入第i件物品的数量。 **2.3 一个简单有效的优化** 对于完全背包问题，可以直接利用01背包问题的思想进行优化。具体来说，可以将每种物品重复若干次后作为一个新的01背包问题来解决。 **2.4 转化为01背包问题求解** 另一种方法是直接将完全背包问题转化为01背包问题，通过扩展物品集合来模拟每种物品可以多次选择的情况。 **2.5 O(VN)的算法** 虽然状态转移方程的形式看起来较为复杂，但是通过对状态转移过程的分析，可以发现完全背包问题同样可以使用O(VN)的时间复杂度进行求解。 **2.6 小结** 完全背包问题的关键在于理解物品可以重复选择的特性，并合理设计状态转移方程来反映这一特点。 #### 三、多重背包问题 **3.1 题目** 多重背包问题允许每种物品有一定的数量限制，每种物品可以选择不超过其数量限制地放入背包。 **3.2 基本算法** - **状态定义** 与01背包相同。 - **状态转移方程**: \[ F[i, v] = \max\{F[i, v], F[i - 1, v - j \cdot C_i] + j \cdot W_i\} (j \cdot C_i \leq v, j \leq 数量限制) \] **3.3 转化为01背包问题** 多重背包问题也可以通过扩展物品集合的方法转化为01背包问题来解决。 **3.4 O(VN)的算法** 多重背包问题同样可以通过O(VN)的时间复杂度进行求解。 **3.5 小结** 多重背包问题的关键在于理解每种物品数量有限的特点，并合理设计状态转移方程来反映这一限制。 #### 四、混合三种背包问题 **4.1 问题** 在实际问题中，往往需要同时处理01背包、完全背包以及多重背包的混合情况。 **4.2 01背包与完全背包的混合** 当面对01背包与完全背包的混合问题时，可以将两种类型的物品分别处理，然后再综合起来。 **4.3 再加上多重背包** 进一步扩展到包括多重背包的情况，则需要更加细致地设计状态转移方程。 **4.4 小结** 混合背包问题的解决策略取决于具体的物品类型组合，关键在于合理设计状态转移方程来适应不同的背包类型。 #### 五、二维费用的背包问题 **5.1 问题** 当物品不仅有一个成本维度（如重量），还有一个额外的成本维度（如体积）时，问题变得更为复杂。 **5.2 算法** 针对二维费用的背包问题，需要重新定义状态和状态转移方程。 **5.3 物品总个数的限制** 除了考虑费用限制外，还需要考虑到物品数量的限制。 **5.4 复整数域上的背包问题** 在某些特殊情况下，背包问题还可以扩展到复整数域上，涉及到复数的运算。 **5.5 小结** 二维费用的背包问题增加了问题的难度，需要更精细的设计来解决问题。 #### 六、分组的背包问题 **6.1 问题** 当物品可以分为几个组，每个组内的物品具有相似的属性时，这种问题被称为分组背包问题。 **6.2 算法** 针对分组背包问题，可以将同一组内的物品视为整体来处理。 **6.3 小结** 分组背包问题的关键在于合理地划分物品组，并设计相应的状态转移方程。 #### 七、有依赖的背包问题 **7.1 简化的问题** 在某些情况下，物品之间存在依赖关系，需要特别处理。 **7.2 算法** 对于有依赖的背包问题，需要考虑物品之间的依赖关系，并相应调整状态转移方程。 **7.3 较一般的问题** 更一般的问题可能涉及复杂的依赖关系。 **7.4 小结** 有依赖的背包问题需要特别注意物品之间的相互影响。 #### 八、泛化物品 **8.1 定义** 泛化物品的概念可以用来解决更加复杂的问题，如物品的价值或成本可以是任意函数形式。 **8.2 泛化物品的和** 泛化物品的概念可以应用于物品的总价值或总成本。 **8.3 背包问题的泛化物品** 在背包问题中，泛化物品可以进一步拓展问题的应用范围。 **8.4 小结** 泛化物品的概念为解决更加复杂的问题提供了可能性。 #### 九、背包问题问法的变化 **9.1 输出方案** 不仅仅是输出最大价值，还需要输出达到该最大价值的具体方案。 **9.2 输出字典序最小的最优方案** 在输出方案的同时，还需要考虑输出字典序最小的方案。 **9.3 求方案总数** 求解所有达到最大价值的方案总数。 **9.4 最优方案的总数** 进一步考虑最优方案的数量。 **9.5 求次优解、第K优解** 求解次优解或者第K优解等问题。 **9.6 小结** 背包问题的变化形式丰富多样，需要根据具体问题灵活应对。 通过以上总结可以看出，背包问题涵盖了多个不同的变体，每种变体都有其独特之处。在解决实际问题时，需要根据具体情况选择合适的方法和技术。

在IT领域，动态规划是一种强大的算法工具，常用于解决复杂的问题，如最优化问题。本主题聚焦于"01背包问题"，这是一个经典的计算机科学优化问题，与动态规划紧密相关。01背包问题通常出现在资源有限的情况下，我们需要选择最优的物品组合以最大化价值或满足特定目标。 动态规划是一种解决问题的方法，它将复杂问题分解为较小的子问题，并存储子问题的解决方案以避免重复计算。在01背包问题中，我们有一个容量为W的背包和n个物品，每个物品有重量wi和价值vi。目标是选取不超过背包容量的物品，使得总价值最大。 我们定义一个二维数组dp[i][j]，其中i表示考虑前i个物品，j表示背包剩余容量。dp[i][j]表示在考虑前i个物品且背包容量为j时能够获得的最大价值。 动态规划的转移方程是关键所在。对于第i个物品，有两种情况： 1. 如果不选第i个物品（即跳过），那么dp[i][j]等于dp[i-1][j]，因为我们没有使用第i个物品的任何部分。 2. 如果选择第i个物品，我们必须检查是否背包容量足够装下它。如果j>=wi，我们可以尝试放入这个物品。在这种情况下，dp[i][j]等于dp[i-1][j-wi]加上第i个物品的价值vi，因为我们使用了第i个物品并且背包容量减少了wi。 最终，dp[n][W]就是我们寻找的最优解，即在背包容量W限制下，能获得的最大价值。 在实际应用中，01背包问题可以扩展到多个限制条件，例如物品可能有类别限制、数量限制等。解决这些问题通常需要对基础动态规划方案进行适当的修改和扩展。 在"01 背包问题限定条件最优解动态规划算法.docx"文档中，可能会详细介绍如何处理这些额外的条件，包括如何构造状态和调整转移方程，以及如何通过剪枝技术减少计算量，提高算法效率。这可能是通过引入额外的维度来记录这些条件，或者通过设计更复杂的决策过程来处理约束。 01背包问题及其动态规划解法是理解和掌握动态规划算法的重要案例，它们在实际问题中有着广泛的应用，如资源分配、任务调度、投资组合优化等。深入理解并熟练应用动态规划，对于提升编程能力和解决实际问题能力至关重要。

C++从文件读取数据，利用动态规划实现01背包问题

0-1背包问题的多种解法，包括暴力求解、动态规划求解、回溯法、贪心法求解求解、模拟退火算法，C++源代码，有详细的注释

用C++贪心算法实现背包问题（非0-1背包）

假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为w1 , w2 , … , wn 的物品，能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包，即使w1 +w2 + … + wn=T，要求找出所有满足上述条件的解。例如：当T=10，各件物品的体积{1，8，4，3，5，2}时，可找到下列4组解：（1，4，3，2），（1，4，5），（8，2），（3，5，2）。 重庆理工大学，软件工程系，课程设计。

背包问题PSO（粒子群算法，Particle Swarm Optimization）基本算法代码，仅供参考

广工算法作业代码（背包问题、棋盘覆盖问题、输油管道问题、循环比赛日程等）用的是C语言实现、课程设计、大作业适用

背包问题的递归算法，很好 问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。

分支定界算法求解0-1背包问题（附MATLAB代码） 1.0-1背包问题描述 2.数学模型 3.线性规划松弛最优解 4.实例讲解 5.MATLAB代码