### 线性代数的几何意义1-5 #### 1. 为什么给出线性代数的几何意义 线性代数是一门基础而重要的数学学科，它研究的对象包括向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换以及有限维向量空间上的矩阵理论。虽然线性代数的符号表达形式简洁明了，但对于初学者而言，理解其中抽象的概念往往较为困难。因此，通过几何直观的方式解释线性代数中的各种概念变得尤为重要。 在《线性代数的几何意义1-5》这一系列书籍中，作者试图通过具体的几何图形来帮助读者更好地理解线性代数的核心概念。几何意义不仅能够使抽象的数学概念变得可视化，还能够揭示出这些概念背后的深层含义，这对于学习者来说是非常有价值的。 #### 2. 重要的几何直观意义 线性代数的几何意义主要体现在以下几个方面： - **向量**：向量可以被看作是具有方向和大小的箭头。通过向量的加法和数乘操作，我们可以直观地理解向量之间的关系。 - **线性变换**：线性变换可以将一个空间中的图形变换到另一个空间中。通过观察变换前后图形的变化，可以更深入地理解线性变换的本质。 - **矩阵**：矩阵可以表示线性变换，通过矩阵与向量的乘法操作，我们可以直观地看到矩阵是如何影响向量的方向和大小的。 #### 3. 如何使用这本书 为了有效地利用这本书，建议按照以下步骤进行： 1. **通读前言**：了解本书的整体结构和学习目标。 2. **仔细阅读每一章**：每章都有丰富的图例和示例，帮助读者理解各个概念的几何意义。 3. **做练习题**：书中的习题是检验学习成果的好方法，也是加深理解的重要途径。 4. **回顾总结**：定期回顾学过的知识点，巩固记忆并加深理解。 #### 第1章 什么是线性代数 本章介绍了线性代数的基本概念，包括“代数”与“线性”的含义，以及它们如何结合形成线性代数的基础。 - **线性函数的概念**：讨论了线性函数的一般定义及其特性，包括零点、加法和数乘操作的线性性质。 - **线性函数概念的推广**：从单变量线性函数扩展到多变量的情形，并探讨了它们在几何上的意义。 - **多元线性函数的几何意义**：通过图形展示了多个自变量和因变量之间的线性关系。 - **n维空间的直观理解**：虽然高维空间难以在物理上可视化，但通过类比的方法可以帮助我们理解其概念。 - **线性映射和线性变换的几何意义**：介绍了线性映射和线性变换的概念，并通过几何图形解释了它们的作用机制。 #### 第2章 向量的基本几何意义 本章深入探讨了向量的各种几何意义，包括向量的基本操作如加法、内积和叉积等。 - **向量概念的几何意义**：解释了自由向量的概念，即一个具有大小和方向的量。 - **向量加法的几何及物理意义**：通过图形展示了向量加法的过程，以及在物理学中的应用。 - **向量内积的几何和物理意义**：介绍了向量内积的计算方法，以及其在几何和物理学中的意义。 - **向量叉积的几何和物理意义**：解释了叉积的概念及其在三维空间中的几何解释。 - **向量混合运算的几何意义**：讨论了向量混合运算的不同规则，并给出了相应的几何解释。 - **向量积和张量之间的关系**：分析了向量积与张量的关系，特别是在不同维度下的表现形式。 - **向量除法的几何意义**：虽然向量除法在数学中不是常见的操作，但本节尝试解释了其可能的几何含义。 - **变向量的几何意义**：介绍了一种特殊的向量类型——变向量，并探讨了其几何图形。 - **复向量的几何意义**：讨论了复数与向量之间的联系，以及复向量的几何表示。 - **向量和微积分的关系**：探讨了向量与微积分之间的关联，特别是向量在微积分中的应用。 #### 第3章 行列式的几何意义 行列式是线性代数中的一个重要概念，它不仅可以用来解决方程组问题，还有着丰富的几何意义。 - **行列式的定义**：首先给出了行列式的数学定义。 - **二阶行列式的几何意义**：通过图形解释了二阶行列式的概念，以及其表示的面积意义。 - **三阶行列式的几何意义**：介绍了三阶行列式的几何意义，通常与体积有关。 - **行列式化为对角形的几何解释**：通过几何图形说明了如何将行列式化简为对角形的过程。 - **行列式乘积项的几何意义**：分析了行列式中乘积项的具体含义，尤其是在几何上的解释。 - **拉普拉斯展开定理及代数余子式的几何解释**：介绍了拉普拉斯展开定理及其在几何上的意义。 - **克莱姆法则的几何意义**：讨论了克莱姆法则在解决线性方程组时的几何意义。 - **一类行列式的几何意义**：特别关注了某些特定类型的行列式，比如最后一列为1的情况，并探讨了其几何意义。 #### 第4章 向量组及向量空间的几何意义 向量组和向量空间是线性代数中的核心概念之一，它们不仅在数学中有广泛的应用，在其他科学领域也有重要意义。 - **向量组的几何意义**：介绍了向量组的概念，并探讨了向量组在线性组合、线性相关性和等价性等方面的几何意义。 - **向量空间的几何意义**：解释了向量空间的概念，以及如何通过几何图形来理解向量空间的不同属性，如维数、基和坐标等。 - **基变换的几何意义**：探讨了从一个基变换到另一个基的过程中向量的变化情况。 - **欧式空间及内积推广**：介绍了欧式空间的概念，以及如何推广内积运算到更一般的向量空间。 - **标准正交基的几何解释**：解释了标准正交基的概念，并讨论了其在几何上的意义。 #### 第5章 矩阵的几何意义 矩阵不仅是线性代数中的基本工具，也是许多科学领域中的重要组成部分。本章重点介绍了矩阵的各种几何意义。 - **矩阵的概念及物理意义**：解释了矩阵的概念，并探讨了矩阵在实际问题中的应用。 - **矩阵加法的几何意义**：介绍了矩阵加法的操作，并通过图形展示其几何意义。 - **矩阵与向量乘法的几何意义**：解释了矩阵与向量相乘的过程，以及其几何含义。 - **矩阵与矩阵乘法的几何意义**：讨论了矩阵与矩阵相乘的概念，以及其在几何上的解释。 - **矩阵与线性变换关系的几何意义**：分析了矩阵如何表示线性变换，并探讨了其几何意义。 - **矩阵乘法运算律的几何意义**：讨论了矩阵乘法的不同性质，如结合律和非交换律等，并给出了几何解释。 - **矩阵秩的几何意义**：解释了矩阵秩的概念，并探讨了其在几何上的意义。 - **矩阵特征值和特征向量的几何及物理意义**：介绍了特征值和特征向量的概念，以及它们在几何和物理学中的应用。 通过以上章节的学习，读者不仅能够掌握线性代数的基本理论，还能深刻理解这些理论背后的几何意义，这对于进一步学习高级数学概念和技术具有重要意义。

机器学习数学基础：线性代数+微积分+概率统计+优化算法 机器学习作为现代科技的璀璨明珠，正在逐渐改变我们的生活。而在这背后，数学扮演着至关重要的角色。线性代数、微积分、概率统计和优化算法，这四大数学领域为机器学习提供了坚实的理论基础。 线性代数是机器学习中的基础语言。矩阵和向量作为线性代数中的核心概念，是数据表示和计算的基础。在机器学习中，我们经常需要将数据转化为矩阵形式，通过矩阵运算提取数据的特征。特征提取是机器学习模型训练的关键步骤，而线性代数则为我们提供了高效处理数据的工具。 微积分则是机器学习模型优化的得力助手。在机器学习中，我们通常需要找到一种模型，使得它在给定数据集上的性能达到最优。这就需要我们对模型进行求导，分析模型参数对性能的影响，进而调整参数以优化模型。微积分中的导数概念为我们提供了分析模型性能变化的方法，帮助我们找到最优的模型参数。 概率统计则是机器学习数据处理和模型评估的基石。在机器学习中，数据往往带有噪声和不确定性，而概率统计可以帮助我们评估数据的分布和特征，进而构建更加稳健的模型。同时，概率统计也为我们提供了模型评估的方法，通过计算模型的准确率、召回率 ### 机器学习数学基础详解 #### 一、线性代数基础 **1.1 向量和矩阵** - **1.1.1 标量、向量、矩阵、张量之间的联系** 标量、向量、矩阵和张量是线性代数中的基本概念，它们之间存在着紧密的联系。 - **标量（Scalar）**：一个单独的数字，没有方向。 - **向量（Vector）**：一组有序排列的数字，通常用来表示方向和大小。 - **矩阵（Matrix）**：一个二维数组，由行和列组成的数据结构。 - **张量（Tensor）**：一个更高维度的数组，它可以是标量（0维）、向量（1维）、矩阵（2维）或更高维度的数组。 **联系**：标量可以视为0维张量；向量是一维张量；矩阵是二维张量；更高维度的数组称为张量。 - **1.1.2 张量与矩阵的区别** - **代数角度**：矩阵是二维张量，而更高维度的张量则包含了更复杂的数据结构。 - **几何角度**：矩阵和向量都是不变的几何量，不随参照系的变化而变化。张量也可以用矩阵形式来表达，但其可以扩展到更高的维度。 - **1.1.3 矩阵和向量相乘结果** 当一个矩阵与一个向量相乘时，可以理解为矩阵的每一行与向量相乘的结果构成新的向量。 - 例如，如果有一个$m \times n$的矩阵$A$与一个$n \times 1$的向量$x$相乘，结果将是一个$m \times 1$的向量$y$，其中每个元素$y_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j$。 - **1.1.4 向量和矩阵的范数归纳** 向量的范数是衡量向量大小的一种标准。 - **向量的1范数**：向量各分量的绝对值之和。 - 对于向量$\vec{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)$，其1范数定义为$||\vec{x}||_1 = |x_1| + |x_2| + ... + |x_n|$。 - **向量的2范数**：也称为欧几里得范数，是各分量平方和的开方。 - $||\vec{x}||_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}$。 - **向量的无穷范数**：向量各分量的最大绝对值。 - $||\vec{x}||_\infty = \max(|x_1|, |x_2|, ..., |x_n|)$。 **1.2 导数和偏导数** - **1.2.1 导数偏导计算** 导数用于描述函数在某一点处的变化率，而偏导数则是多元函数关于其中一个自变量的变化率。 - **1.2.2 导数和偏导数有什么区别？** - **导数**：对于单一自变量的函数$f(x)$，导数$f'(x)$描述了该函数在$x$点处的切线斜率。 - **偏导数**：对于多变量函数$f(x_1, x_2, ..., x_n)$，偏导数$\frac{\partial f}{\partial x_i}$描述了当保持其他变量不变时，$f$关于$x_i$的变化率。 **1.3 特征值和特征向量** - **1.3.1 特征值分解与特征向量** 特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于理解和简化矩阵。 - **特征值**：如果存在非零向量$\vec{v}$使得$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$，那么$\lambda$就是矩阵$A$的一个特征值。 - **特征向量**：满足上述等式的非零向量$\vec{v}$。 - **1.3.2 奇异值与特征值的关系** - **奇异值**：对于任何矩阵$A$，其奇异值是$A^\top A$（或$AA^\top$）的特征值的平方根。 - **关系**：奇异值和特征值在特定情况下相同，尤其是在正交矩阵和对称矩阵中。 #### 二、微积分基础 - **1.2 导数和偏导数**（已在上文提到） - **1.3 特征值和特征向量**（已在上文提到） #### 三、概率统计基础 **1.4 概率分布与随机变量** - **1.4.1 机器学习为什么要使用概率** 在机器学习中，概率用于描述数据的不确定性，并提供了一种量化方式来预测未来事件的可能性。 - **1.4.2 变量与随机变量有什么区别** - **变量**：可以取多种不同值的量。 - **随机变量**：变量的一种特殊类型，其值是根据某个概率分布随机确定的。 - **1.4.3 随机变量与概率分布的联系** - 随机变量的每个可能值都对应一个概率，这些概率构成了随机变量的概率分布。 - **1.4.4 离散型随机变量和概率质量函数** - **离散型随机变量**：只能取有限个或可数无限个值的随机变量。 - **概率质量函数**：描述离散型随机变量各个值的概率。 - **1.4.5 连续型随机变量和概率密度函数** - **连续型随机变量**：可以取区间内的任意值的随机变量。 - **概率密度函数**：描述连续型随机变量在某一区间的概率密度。 - **1.4.6 举例理解条件概率** - 条件概率$P(A|B)$表示在事件$B$已经发生的条件下，事件$A$发生的概率。 - 例如，假设在一个班级中，$P(\text{女生}) = 0.5$，$P(\text{女生|戴眼镜}) = 0.6$，意味着在戴眼镜的学生中，60%是女生。 - **1.4.7 联合概率与边缘概率联系区别** - **联合概率**：两个事件同时发生的概率。 - **边缘概率**：单个事件发生的概率。 - **联系**：联合概率可以通过边缘概率和条件概率计算得出。 - **1.4.8 条件概率的链式法则** - 条件概率的链式法则描述了如何通过一系列条件概率来计算联合概率。 - 例如，$P(A,B,C) = P(C|A,B)P(B|A)P(A)$。 - **1.4.9 独立性和条件独立性** - **独立性**：两个事件$A$和$B$独立，如果$P(A|B) = P(A)$且$P(B|A) = P(B)$。 - **条件独立性**：事件$A$和$B$在已知事件$C$的情况下条件独立，如果$P(A|B,C) = P(A|C)$。 **1.5 常见概率分布** - **1.5.1 Bernoulli分布** - 描述只有两种可能结果的随机试验（如成功或失败）的概率分布。 - 参数$p$表示成功的概率，失败的概率为$1-p$。 - **1.5.2 高斯分布** - 又称正态分布，是一种非常常见的连续概率分布。 - 参数$\mu$代表均值，$\sigma^2$代表方差。 - **1.5.3 何时采用正态分布** - 正态分布广泛应用于自然和社会科学领域，特别是在中心极限定理的支持下，很多随机变量可以近似为正态分布。 - **1.5.4 指数分布** - 描述事件发生的时间间隔的分布。 - 参数$\lambda$表示事件发生的平均频率。 - **1.5.5 Laplace 分布** - 也是一种连续概率分布，具有比高斯分布更重的尾部。 - 参数$\mu$代表均值，$b$代表尺度参数。 - **1.5.6 Dirac分布和经验分布** - **Dirac分布**：一个概率质量集中在单个点的分布。 - **经验分布**：基于观测数据的分布，反映了数据的真实概率分布情况。 **1.6 期望、方差、协方差、相关系数** - **1.6.1 期望** - 期望是对随机变量取值的加权平均。 - 对于离散型随机变量，期望定义为$E[X] = \sum x_i p(x_i)$。 - **1.6.2 方差** - 方差衡量随机变量与其期望值之间的偏差程度。 - 定义为$Var(X) = E[(X-E[X])^2]$。 - **1.6.3 协方差** - 协方差描述两个随机变量之间的线性相关性。 - 定义为$Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$。 - **1.6.4 相关系数** - 相关系数是标准化后的协方差，用于衡量两个变量的相关强度。 - 定义为$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$，其中$\sigma_X$和$\sigma_Y$分别是$X$和$Y$的标准差。 通过以上详细的介绍，我们可以看到，线性代数、微积分、概率统计和优化算法在机器学习中的应用极为广泛，它们为机器学习提供了坚实的数学基础。掌握这些基础知识对于深入理解机器学习算法至关重要。

中国人民大学《线性代数》2022-2023学年第一学期期末考试试卷.pdf

线性代数第五版 英文版 Gilbert Strang

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全书共分7章,包括引论、线性方程组求解、线性最小二乘问题、非对称特征值问题、对称特征问题和奇异值分解、线性方程组迭代方法及特征值问题迭代方法，本书不仅给出了数值线性代数的常用算法，而且也介绍了多重网格法和区域分解法等新算法，并指导读者如何编写数值软件以及从何处找到适用的优秀数值软件。 　　本书可作为计算数学和相关理工科专业一年级研究生的教材,也可作为从事科学计算的广大科技工作者的参考书。 第1章 引论 　1.1 基本符号 　1.2 数值线性代数的标准问题 　1.3 一般的方法 　　1.3.1 矩阵分解 　　1.3.2 扰动理论和条件数 　　1.3.3 舍入误差对算法的影响 　　1.3.4 分析算法的速度 　　1.3.5 数值计算软件 　1.4 例：多项式求值 　1.5 浮点算术运算 　1.6 再议多项式求值 　1.7 向量和矩阵范数 　1.8 第1章的参考书目和其他话题 　1.9 第1章问题 第2章 线性方程组求解 　2.1 概述 　2.2 扰动理论 　2.3 高斯消元法 　2.4 误差分析 　　2.4.1 选主元的必要性 　　2.4.2 高斯消元法正式的误差分析 　　2.4.3 估计条件数 　　2.4.4 实际的误差界 　2.5 改进解的精度 　　2.5.1 单精度迭代精化 　　2.5.2 平衡 　2.6 高性能分块算法 　　2.6.1 基本线性代数子程序（blas） 　　2.6.2 如何优化矩阵乘法 　　2.6.3 使用3级blas改组高斯消元法 　　2.6.4 更多的并行性和其他性能问题 　2.7 特殊的线性方程组 　　2.7.1 实对称正定矩阵 　　2.7.2 对称不定矩阵 　　2.7.3 带状矩阵 　　2.7.4 一般的稀疏阵 　　2.7.5 不超过o（n2）个参数的稠密矩阵 　2.8 第2章的参考书目和其他的话题 　2.9 第2章问题 第3章 线性最小二乘问题 　3.1 概述 　3.2 解线性最小二乘问题的矩阵分解 　　3.2.1 正规方程 　　3.2.2 qr分解 　　3.2.3 奇异值分解 　3.3 最小二乘问题的扰动理论 　3.4 正交矩阵 　　3.4.1 豪斯霍尔德变换 　　3.4.2 吉文斯旋转 　　3.4.3 正交矩阵的舍入误差分析 　　3.4.4 为什么用正交矩阵 　3.5 秩亏最小二乘问题 　　3.5.1 用svd解秩亏最小二乘问题 　　3.5.2 用选主元的qr分解解秩亏最小二乘问题 　3.6 最小二乘问题解法的性能比较 　3.7 第3章的参考书目和其他话题 　3.8 第3章问题 第4章 非对称特征值问题 　4.1 概述 　4.2 典范型 　4.3 扰动理论 　4.4 非对称特征问题的算法 　　4.4.1 幂法 　　4.4.2 逆迭代 　　4.4.3 正交迭代 　　4.4.4 qr迭代 　　4.4.5 使qr迭代有实效 　　4.4.6 海森伯格约化 　　4.4.7 三对角和双对角约化 　　4.4.8 隐式位移的qr迭代 　4.5 其他的非对称特征值问题 　　4.5.1 正则矩阵束和魏尔斯特拉斯典范型 　　4.5.2 奇异矩阵束和克罗内克典范型 　　4.5.3 非线性特征值问题 　4.6 小结 　4.7 第4章参考书目和其他话题 　4.8 第4章问题 第5章 对称特征问题和奇异值分解 　5.1 概述 　5.2 扰动理论 　5.3 对称特征问题的算法 　　5.3.1 三对角qr迭代 　　5.3.2 瑞利商迭代 　　5.3.3 分而治之 　　5.3.4 对分法和逆迭代 　　5.3.5 雅可比法 　　5.3.6 性能比较 　5.4 奇异值分解算法 　　5.4.1 双对角svd的qr迭代及其变形 　　5.4.2 计算双对角svd达到高的相对精度 　　5.4.3 svd的雅可比法 　5.5 微分方程和特征值问题 　　5.5.1 toda格子 　　5.5.2 与偏微分方程的关系 　5.6 第5章参考书目和其他话题 　5.7 第5章问题 第6章 线性方程组迭代方法 　6.1 概述 　6.2 迭代法的在线（on-line）帮助 　6.3 泊松方程 　　6.3.1 一维泊松方程 　　6.3.2 二维泊松方程 6.3.3 用克罗内克积表达泊松方程 6.4 解泊松方程方法小结 　6.5 基本迭代法 　　6.5.1 雅可比法 　　6.5.2 高斯-塞德尔法 6.5.3 逐次超松弛法 6.5.4 模型问题的雅可比、高斯－塞德尔和sor（ω）的收敛性 6.5.5 雅可比、高斯－塞德尔和sor（ω）法明细的收敛准则 　　6.5.6 切比雪夫加速和对称sor（ssor） 　6.6 克雷洛夫子空间方法 　　6.6.1 通过矩阵-向量乘法得到关于a的信息 　　6.6.2 利用克雷洛夫子空间kk解ax=b 　　6.6.3 共轭梯度法 　　6.6.4 共轭梯度法的收敛性分析 　　6.6.5 预条件 　　6.6.6 解ax=b的其他克雷洛夫子空间算法 　6.7 快速傅里叶变换 　　6.7.1 离散傅里叶变换 　　6.7.2 用傅里叶级数解连续模型问题 　　6.7.3 卷积 　　6.7.4 计算快速傅里叶变换 　6.8 块循环约化 　6.9 多重网格法 　　6.9.1 二维泊松方程多重网格法概述 　　6.9.2 一维泊松方程的多重网格法详述 　6.10 区域分解法 　　6.10.1 无交叠方法 　　6.10.2 交叠方法 　6.11 第6章的参考书目和其他话题 　6.12 第6章问题 第7章 特征值问题的迭代方法 　7.1 概述 　7.2 瑞利-里茨方法 　7.3 精确算术运算的兰乔斯算法 　7.4 浮点算术运算的兰乔斯算法 　7.5 选择正交化的兰乔斯算法 　7.6 选择正交化之外的方法 　7.7 非对称特征值问题的迭代算法 　7.8 第7章的参考书目和其他话题 　7.9 第7章问题 参考文献（图灵网站下载） 索引

《程序员数学 》用python学透线性代数和微积分，源码程序，和书本对应。并做了错误的修改bug

4.4 内啮合齿轮副计算 一对内啮合齿轮副，模数=0.6，小齿轮齿数 25 齿、内齿圈 75 齿，齿宽 b=7，中心距 15。 齿轮的转速 n=3000 r/min，小齿轮输入功率 P=1KW，无冲击 KA=1，每天工作８小时，使用 期限不低于 3 年。 小齿轮选用 20MnCrTi 材料制造并经渗碳淬火磨齿，齿圈采用 40Cr 钢制 造并经高频淬火，A 型齿面齿根均淬火，表面硬度均应在 50HRC 以上，请验证其安全系数 及 佳的变位系数， 大过载载荷。 解： KISSSOFT 内啮合齿轮幅与外啮合部分参数用负号区别，如：中心距以负值表示 a= -15，内齿圈齿数= -75，内齿圈变位系数以负表示齿变薄（齿顶圆增大），X= -0.3 不同与 我国大部分软件。 普通硬齿面齿轮损坏一般是疲劳损坏，因此变位系数一般考虑尺寸的强度与磨损，而 等滑动率刚好可以满足要求，对小齿轮大的变位。 1.打开KISSSFOFT界面，进入圆柱齿轮幅单元。输入指定的参数如图4.8所示。 图 4.8 2.单击变位系数自动调整按钮 ，选择第一个选项 佳优化滑动率，如图4.9所示。

线性代数应该这样学Liner Algebra Done Right(中文)

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材(现在到了第四版)，一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。